高等数学-一元微分学-可导函数的中值定理

函数的导数分类

函数的导数分为4种情况，导数大于0，等于0，小于0，不可导

可导的局部特性

以导数大于0为例，根据函数极限的局部保号性：

\(\\begin{aligned} if \\quad \& f^{\\prime}(a)\>0 ,f^{\\prime}(a) =\\lim\_{x \\rightarrow a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\>0 \\ \\Rightarrow \\quad\& \\exists \\delta\>0, x\<|x-a|\<\\delta , \\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\>0 \\end{aligned}\)

即导数大于0，表示在极小邻域内，函数值递增 同理，导数小于0，表示在极小邻域内，函数值递减 同理，导数等于0，表示在极小邻域内，函数取极值

费马定理

函数在某点及邻域有定义，在该点取极值，在该点导数存在 \(\\Rightarrow\) 该点导数为0（该点是驻点）。

即有：

\(f(x)\)在\(x=a\)取极值， \(\\Rightarrow \\nLeftarrow\) \(f'(a)=0\) 或 不存在\(f'(a)\)

\(f(x)\)可导且在\(x=a\)取极值， \(\\Rightarrow \\nLeftarrow\) \(f'(a)=0\)

可导函数的中值定理

几个中值定理的共同条件：一个函数在闭区间连续，开区间可导，中间存在一个点怎么怎么样

高阶中值定理（拉格朗日余项泰勒定理）的条件：一个函数在闭区间n阶连续，开区间n+1阶可导，中间存在一个点怎么怎么样

罗尔定理

若\(f(x)\)在闭区间\(\[a, b\]\)内连续，在开区间\((a, b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则至少存在一点\(\\xi \\in(a, b)\)，\(f^{\\prime}(\\xi)=0\)

拉格朗日中值定理

若\(f(x)\)在闭区间\(\[a, b\]\)内连续，在开区间\((a, b)\)内可导，且\(f(a)=f(b)\)，则至少存在一点\(\\xi \\in(a, b)\)，\(f(b)-f(a)=f^{\\prime}(\\xi)(b-a)\)

作辅助函数+罗尔定理可证此定理； 所作的辅助函数：直线AB-曲线AB，则在端点处都为0，满足罗尔定理条件。

柯西中值定理

若\(f(x), g(x)\)在闭区间\(\[a, b\]\)连续，在开区间\((a, b)\)可导，且\(g^{\\prime}(x) \\neq 0, x \\in(a, b)\)则至少存在一点\(\\xi \\in(a, b)\)，使得\(\\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\\frac{f^{\\prime}(\\xi)}{g^{\\prime}(\\xi)}\)。

作辅助函数+罗尔定理证明

泰勒定理

泰勒定理一般有两种形式。

具有拉格朗日余项的n阶泰勒公式，可看作是高阶中值定理。退化到零阶，即拉格朗日中值定理。

佩亚诺余项泰勒公式，余项是无穷小，一般用于无穷小的比较（比如求极限）

具有拉格朗日余项的n阶泰勒公式

设\(f(x)\)在闭区间\(\[a,b\]\)上有n阶连续导数，在开区间\((a,b)\)内有n+1阶导数，\(x\_{0} \\in\[a, b\], x \\in\[a, b\]\)是任意两点，则至少存在一点\(\\xi\)介于x和\(x\_0\)之间，使得\(f(x)=f\\left(x\_{0}\\right)+\\frac{f^{\\prime}\\left(x\_{0}\\right)}{1 !}\\left(x-x\_{0}\\right)+\\frac{f^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}\\right)}{2 !}\\left(x-x\_{0}\\right)^{2}+\\cdots+\\frac{f^{(n)}\\left(x\_{0}\\right)}{n !}\\left(x-x\_{0}\\right)^{n}+R\_{x}(x)\)，其中\(R\_{n}(x)=\\frac{f^{(n+1)}(\\xi)}{(n+1) !}\\left(x-x\_{0}\\right)^{n+1}\)称为拉格朗日余项，整个公式称为具有拉格朗日余项的n阶泰勒公式。

若\(x\_0 = 0\),则该公式称为麦克劳林公式。

函数	对应的麦克劳林级数展开
\(\\frac{1}{\\sqrt{1-x^{2}}}=\\left(1-x^{2}\\right)^{-\\frac{1}{2}}\)	\(1+\\sum\_{n=1}^{\\infty} \\frac{1 \\times 3 \\times 5 \\times \\cdots \\times(2 n-1)}{2^{n} \\cdot n !} x^{2 n}\)
\(\\frac{1}{1+x^{2}}\)	\(1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\\cdots+(-1)^{n} x^{2 n}+\\cdots\)
\(\\frac{1}{x-1}=-\\frac{1}{1-x}\)	\(-\\sum\_{n=0}^{\\infty} x^{n}\)
\(\\frac{1}{2 x-1}=-\\frac{1}{1-2 x}\)	\(-\\sum\_{n=0}^{\\infty} 2^{n} x^{n}\)
\(\\arctan x\)	\(\\begin{array}{ll}=x-\\frac{1}{3} x^{3}+\\frac{1}{5} x^{5}-\\cdots+(-1)^{n} \\frac{x^{2 n+1}}{2 n+1}+\\cdots \& (-1 \\leqslant x \\leqslant 1) \\ =\\sum\_{n=0}^{\\infty}(-1)^{n} \\frac{x^{2 n+1}}{2 n+1} \& (-1 \\leqslant x \\leqslant 1)\\end{array}\)

佩亚诺余项泰勒公式

将定理的条件减弱为： 设\(f(x)\)在\(x=x\_0\)具有n阶导数，设x为\(x\_0\)充分小邻域内的任意一点，则有\(f(x)=f\\left(x\_{0}\\right)+\\frac{f^{\\prime}\\left(x\_{0}\\right)}{1 !}\\left(x-x\_{0}\\right)+\\cdots+\\frac{f^{(n)}\\left(x\_{0}\\right)}{n !}\\left(x-x\_{0}\\right)^{n}+R\_{n}(x)\)，其中\(R\_{n}(x)=o\\left(\\left(x-x\_{0}\\right)^{n}\\right)\)，整个公式称为佩亚诺余项泰勒公式。

常见的泰勒公式（佩亚诺余项式）

已知函数可导证明不等式

前提条件：设\(f(x)\)与\(g(x)\)在区间\((a,b)\)可导 用微分学证明不等式：在此区间内\(f(x) \\geqslant g(x)\)或者\(f(x)\>g(x)\)

先命\(\\varphi(x)=f(x)-g(x)\)，然后用下列方法之一或者联合运用来证明

用单调性证明

若\(\\varphi(x)=f(x)-g(x)\)单调增加，且左端点处值大于等于0，则\(\\varphi(x)=f(x)-g(x) \\ge 0\)恒成立。 同理可证其他情况。

用最值证明

若在\((a,b)\)内，\(\\varphi (x)\)有最小值大于0，则在\((a,b)\)内恒有\(\\varphi (x) \\gt 0\). 若\(\\varphi (x)\)有最小值等于0则在\((a,b)\)内恒有\(\\varphi (x) \\ge 0\)。

类似可用最大值可证小于，小于等于的情况。

用拉格朗日中值公式证明

如果题目求证\(f(b)-f(a)\>A(b-a)\)，常想到拉格朗日中值定理：\(f(b)-f(a)=f^{\\prime}(\\xi)(b-a)\)。 只要去证\(f^{\\prime}(\\xi)\>A\)，则原式得证。

同理可证\(f(b)-f(a)\<A(b-a)\)

用拉格朗日余项泰勒公式证明

如果\(f^{\\prime \\prime}(x)\)存在且（大于0或者小于0），想到1阶拉格朗日余项泰勒公式：\(f(x)=f\\left(x\_{0}\\right)+\\frac{1}{1!} f^{\\prime}\\left(x\_{0}\\right)\\left(x-x\_{0}\\right)+\\frac{1}{2 !} f^{\\prime \\prime}(\\xi)\\left(x-x\_{0}\\right)^{2}\)。 证明的关键是展开位置\(x\_0\)的确定。

如果\(f^{\\prime \\prime}(x)\)存在且（大于0或者小于0），也可能使用两次拉格朗日中值定理（0阶拉格朗日余项泰勒公式）：\(f(x)=f\\left(x\_{0}\\right)+\\frac{1}{1!} f^{\\prime}\\left(\\xi\\right)\\left(x-x\_{0}\\right)\)

如果为更高阶导数存在（且大于0或小于0），那么想到将\(f(x)\)展开至更高阶。

存在零点及零点个数的证明

零点是否存在的证明

由连续函数介值定理或零点定理证明

由罗尔定理证明

罗尔定理

罗尔定理关于零点的推论：设以下所提到的导数存在，则有结论：如果\(f(x)\)有\(k(k\\ge 2)\)个零点，则\(f^\\prime (x)\)至少有(k-1)个零点，…,\(f^{(k-1)}(x)\)至少有1个零点。

至多有几个零点的证明

设以下所提到的导数存在，则有结论： 如果\(f^{\\prime}(x)\)没有零点，则\(f(x)\)至多有1个零点； 如果\(f^{\\prime}(x)\)最多1个零点，则\(f(x)\)至多有2个零点； 如果\(f^{\\prime}(x)\)最多k个零点，则\(f(x)\)至多有k+1个零点； 如果\(f^{\\prime \\prime}(x)\)没有零点，则\(f^{\\prime}(x)\)最多1个零点，\(f(x)\)最多2个零点。。。。