线性代数-矩阵1习题

矩阵的基本运算

主要涉及矩阵加法、数乘、乘法、转置。

矩阵的乘法

矩阵乘法的计算

例1

例2

例3

例4 这题没做出来

例5

矩阵乘法的性质

例1 一般矩阵乘法不可交换

例2 基本消元不成立

求逆矩阵

直接求逆矩阵

二阶：逆矩阵为：行列式分之伴随

高阶：\((A|E) \\rightarrow (E | A^-1)\)

例1

例2

例3

例4

例5

例6

解矩阵方程

线性变换可以表示为矩阵方程。线性变化与矩阵方程一一对应。

例1

例2

例3

例4

可对角化矩阵多项式求解

例1

例2

分块矩阵

例1

例2 不会证

\(\\left(\\begin{array}{ll}O \& A \\ B \& O\\end{array}\\right)^{-1} = \\left(\\begin{array}{cc} O \& B^{-1} A^{-1} \& O \\end{array}\\right)\)

\(\\left(\\begin{array}{ll}A \& O \\ C \& B\\end{array}\\right)^{-1} = \\left(\\begin{array}{cc} A^{-1} \& 0 \-B^{-1} C A^{-1} \& B^{-1} \\end{array}\\right)\)

例3

矩阵的证明

证明矩阵是对称矩阵

例1

\(\\boldsymbol{B}^{T} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{B} = ((AB)^T B)^T = (B^T A^T B)^T\) 又A是对称阵，即\(A^T = A\) 则$(B^T A^T B)^T = (B^T A B)^T $

所以$\boldsymbol{B}^{T} \boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = (B^T A B)^T \(，即\)B^T A B$是对称阵。

例2

注：写出元素，用定义证明。

逆矩阵的证明

例1

证明:因为 A^k = 0 所以 (E-A)(E+A+A^2+…+A(k-1)) = E+A+A^2+…+A(k-1) -A-A^2-…-A(k-1)-A^k = E – A^k = E 所以 E-A 可逆,且 (E-A)^-1 = E+A+A^2+…+A(k-1)

例2

例3

AA*＝|A|E，AA^-1＝E .所以A*＝|A|A^-1.既A*可逆。接下来就好做了。。。

伴随矩阵的证明

例1

（1）证明: 假设\(|a^*|≠0\) 由\(a^*\)可逆 因为\(aa^*=|a|a=0\) 等式两边右乘\((a^*)^-1\)则得 \(a=0\) 故\(a^*=0\) 所以\(|a^*|=0\) 与假设矛盾.

（2）略