线性代数-矩阵1

矩阵

矩阵的概念

矩阵的定义

\(m \\times n\)个数，排成m行n列的表格：(为表示它们是一个整体，总加一个括弧) \(\\boldsymbol{A}=\\left(\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \&\\ddots \& \\vdots \\ a\_{m 1} \& a\_{m 2} \& \\cdots \& a\_{m n}\\end{array}\\right)\)， 称为一个\(m \\times n\)矩阵。简记为A。

实矩阵/复矩阵

元蒙是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵

方阵

当\(m=n\)时，称为n阶矩阵（或n阶方阵）。即行数与列数都等于 \(n\) 的矩阵称为n 阶矩阵或 \(n\) 阶方阵.

方阵的行列式

设\(A=\[a\_{ij}\]\)为n阶矩阵，其所有元素构成的行列式称为方阵A的行列式。记为\(|A|\)。 注1：仅方阵才有行列式 注2：A=0与\(|A|=0\)不要搞混。

零矩阵

如果一个矩阵的所有元素都是0，称这个矩阵为0矩阵。简记为0.

行矩阵/列矩阵

只有一行的矩阵： \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{1} a\_{2} \\cdots a\_{n}\\right)\) 称为行矩阵（又称行向量）

只有一列的矩阵： \(\\boldsymbol{B}=\\left(\\begin{array}{c}b\_{1} \\ b\_{2} \\ \\vdots \\ b\_{m}\\end{array}\\right)\) 称为列矩阵（又称列向量）

同型矩阵

如果A和B都是\(m \\times n\)矩阵，称A和B是同型矩阵。

即，两个矩阵的行数相等、列数也相等时, ,就称它们是同型矩阵

矩阵相等

如果 \(A=\\left(a\_{i j}\\right)\)与 \(\\mathbf{B}=\\left(b\_{i j}\\right)\) 都是\(m \\times n\)矩阵（同型矩阵）， 且对应元素相等，即\(a\_{ij} = b\_{ij} \\quad (\\forall i = 1,2,…,m, j= 1,2,…,n)\)， 称矩阵A和B相等，记A=B。

线性变换与系数矩阵关系

\(n\) 个变量 \(x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}\) 与 \(m\) 个变量 \(y\_{1}, y\_{2}, \\cdots, y\_{m}\) 之间的关系式： \(\\left{\\begin{array}{l}y\_{1}=a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n} \\ y\_{2}=a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n} \\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\ y\_{m}=a\_{m 1} x\_{1}+a\_{m 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{m n} x\_{n}\\end{array}\\right.\) 表示一个从变量 \(x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}\) 到变量 \(y\_{1}, y\_{2}, \\cdots, y\_{m}\) 的线性变换,其中 \(a\_{i j}\) 为常数.线性变换的系数 \(a\_{i j}\) 构成矩阵 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{i j}\\right)\_{m \\times n}\)

给出线性变换，系数矩阵就唯一确定；给出一个矩阵作为线性变换的系数矩阵，线性变换也唯一确定；即线性变换和矩阵之间存在着一一对应的关系 .

可以利用矩阵来研究 线性变换,也可以利用线性变换来解释矩阵的含义。

零矩阵

元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作O，注意不同型的零矩阵是不同的。

单位矩阵

主对角线上元素都是1，其余位置都是0的n阶方阵。记作E \(\\left\[\\begin{array}{} 1 \& 0 \\ 0 \& 1 \\end{array}\\right\]\) \(\\left\[\\begin{array}{} 1 \& 0 \& 0\\ 0 \& 1 \& 0\\ 0 \& 0 \& 1\\end{array}\\right\]\) …

n阶单位矩阵：

\(\\boldsymbol{E}=\\left(\\begin{array}{cccc}1 \& 0 \& \\cdots \& 0 \\ 0 \& 1 \& \\cdots \& 0 \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ 0 \& 0 \& \\cdots \& 1\\end{array}\\right)\)

对应的线性变换为：

\(\\left{\\begin{array}{l}y\_{1}=x\_{1} \\ y\_{2}=x\_{2} \\ \\cdots \\ldots \\ldots \\ldots \\ y\_{n}=x\_{n}\\end{array}\\right.\)

对角矩阵​

只有主对角线上有非零元素，其余位置都是0的矩阵。记作\(\\boldsymbol{\\Lambda}=\\operatorname{diag}\\left(\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}\\right)\) \(\\left\[\\begin{array}{} a\_1 \& 0 \\ 0 \& a\_2 \\end{array}\\right\]\) \(\\left\[\\begin{array}{} a\_1 \& 0 \& 0\\ 0 \& a\_2 \& 0\\ 0 \& 0 \& a\_3\\end{array}\\right\]\)

n阶对角矩阵： \(\\boldsymbol{\\Lambda}=\\left(\\begin{array}{cccc}\\lambda\_{1} \& 0 \& \\cdots \& 0 \\ 0 \& \\lambda\_{2} \& \\cdots \& 0 \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ 0 \& 0 \& \\cdots \& \\lambda\_{n}\\end{array}\\right)\)

对应的线性变换为：

\(\\left{\\begin{array}{l}y\_{1}=\\lambda\_{1} x\_{1} \\ y\_{2}=\\lambda\_{2} x\_{2} \\ \\cdots \\ldots \\ldots \\ldots \\ y\_{n}=\\lambda\_{n} x\_{n}\\end{array}\\right.\)

对称矩阵

需要先了解矩阵转置的概念。

设 A 为 n 阶方阵,如果满足 \(A^{\\mathrm{T}}=A\),即\(a\_{i j}=a\_{j i}(i, j=1,2, \\cdots, n)\) 那么 A 称为对称矩阵,简称对称阵.

对称阵的特点是 : 它的元素以对角线为对称轴对应相等.

共轭矩阵

当 \(A=\\left(a\_{i j}\\right)\) 为复矩阵时,用 \(\\bar{a}_{i j}\) 表示 \(a_{i j}\) 的共轭复数, 记\(\\overline{\\boldsymbol{A}}=\\left(\\bar{a}\_{i j}\\right)\) \(\\overline{A}\)称为 A 的共轭矩阵.

共轭矩阵的运算律/性质： \(\\overline{A+B}=\\bar{A}+\\bar{B}\) \(\\overline{\\lambda A}=\\bar{\\lambda} \\bar{A}\) \(\\overline{\\boldsymbol{A B}}=\\bar{\\boldsymbol{A}} \\bar{\\boldsymbol{B}}\)

矩阵的迹

矩阵主对角元素之和。即\(\\Sigma a\_{ii}\)

矩阵的基本运算

矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算。

而矩阵乘法、矩阵的转置不是线性运算。

矩阵加法

\(A+B = \[a\_{ij} + b\_{ij}\]\)，这里要求A与B为同型矩阵。

\(\\boldsymbol{A}+\\boldsymbol{B}=\\left(\\begin{array}{cccc}a\_{11}+b\_{11} \& a\_{12}+b\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n}+b\_{1 n} \\ a\_{21}+b\_{21} \& a\_{22}+b\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n}+b\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{m 1}+b\_{m 1} \& a\_{m 2}+b\_{m 2} \& \\cdots \& a\_{m n}+b\_{m n}\\end{array}\\right)\)

加法性质/运算律

A,B,C为同型矩阵时， 交换律：\(A+B = B+A\) 结合律：\(A + B + C = A + (B + C)\) \(A+0 = 0+A = A\) \(A+ (-A) = 0\)

矩阵数乘

数$ \lambda \(与矩阵 A 的乘积：\)\lambda A = [\lambda a_{ij}]$

即： \(\\lambda \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{A} \\lambda=\\left(\\begin{array}{cccc}\\lambda a\_{11} \& \\lambda a\_{12} \& \\cdots \& \\lambda a\_{1 n} \\ \\lambda a\_{21} \& \\lambda a\_{22} \& \\cdots \& \\lambda a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ \\lambda a\_{m 1} \& \\lambda a\_{m 2} \& \\cdots \& \\lambda a\_{m n}\\end{array}\\right)\)

数乘性质/运算律

\(k(mA) = m(kA) = (km)A\) \((k+m)A = kA + mA\) \(k(A+B) = kA + kB\) \(1 A = A, 0A = 0\)

矩阵乘法

设 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{i j}\\right)\) 是一个 \(m \\times s\) 矩阵 \(, \\boldsymbol{B}=\\left(b\_{i j}\\right)\) 是一个 \(s \\times n\) 矩阵, 那么规定矩阵 A 与矩阵 B 的乘积是一个 \(m \\times n\) 矩阵 \(C=\\left(c\_{i j}\\right),\) 其中\(c\_{i j}=a\_{i 1} b\_{1 j}+a\_{i 2} b\_{2 j}+\\cdots+a\_{i s} b\_{i j}=\\sum\_{k=1}^{s} a\_{i k} b\_{k j}\) \((i=1,2, \\cdots, m ; j=1,2, \\cdots, n)\) 矩阵的乘积记作\(C=A B\)

而 \(\\left(a\_{i 1}, a\_{i 2}, \\cdots, a\_{i s}\\right)\\left(\\begin{array}{c}b\_{1 j} \\ b\_{2 j} \\ \\vdots \\ b\_{i j}\\end{array}\\right)=a\_{i 1} b\_{1 j}+a\_{i 2} b\_{2 j}+\\cdots+a\_{i j} b\_{j i}\) \(=\\sum\_{k=1}^{s} a\_{i k} b\_{k j}=c\_{i j}\) 表明乘积矩阵 \(\\boldsymbol{A B}=\\boldsymbol{C}\) 的( \(i, j)\) 元 \(c\_{i j}\) 就是 \(\\boldsymbol{A}\) 的第 \(i\) 行与 \(\\boldsymbol{B}\) 的第 \(j\) 列的乘积.

注意：只有当第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的 行数时,两个矩阵才能相乘。

从线性变换的角度看，线性变换的系数矩阵作乘积，相当于连续作两次线性变换。

AB 是 A 左乘 \(\\boldsymbol{B}(\\boldsymbol{B}\)被 A 左乘)的乘积, BA 是 A 右乘 B 的乘积, AB 有意义时, BA 可以没有意义.矩阵的乘法不满足交换律。 但是若对于两个 n 阶方阵 A，B,若 AB = BA，则称方阵 A 与B是可交换的.

乘法性质/运算律

结合律

\((AB)C = A(BC) = ABC\)

\(\\lambda(A B)=(\\lambda A) B=A(\\lambda B)(\) 其中 \(\\lambda\) 为数 \()\)

分配律

\(A(B+C) = AB + AC\) \((A+B) C = AC + BC\)

n阶方阵的幂（方幂）

\(A \\cdot A = A^2\) \(A \\cdots A = A^k\) (k个A的乘积)

单位矩阵的乘法

\(AE = A, EA = A\)

单位矩阵E在矩阵乘法中的作用类似于数1.

纯量阵的乘法

纯量阵： \(\\lambda E=\\left(\\begin{array}{llll}\\lambda \& \& \\ \& \\lambda \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \\lambda\\end{array}\\right)\)

由( \(\\lambda E) A=\\lambda A, A(\\lambda E)=\\lambda A,\) 可 知纯量阵 \(\\lambda E\) 与矩阵 \(\\boldsymbol{A}\) 的乘积等于数$ \lambda \(与 A 的乘积. 当 A 为 n 阶方阵时,有\)\left(\lambda \mathbf{E}{n}\right) \boldsymbol{A}{n}=\lambda \boldsymbol{A}{n}=\boldsymbol{A}{n}\left(\lambda \boldsymbol{E}_{n}\right),$表明纯量阵 $\lambda E $与任何同阶方阵都是可交换的.

对角矩阵\(\\Lambda\)的乘法

\(\\left\[\\begin{array}{} a\_1 \& 0 \& 0\\ 0 \& a\_2 \& 0\\ 0 \& 0 \& a\_3\\end{array}\\right\] \\left\[\\begin{array}{} b\_1 \& 0 \& 0\\ 0 \& b\_2 \& 0\\ 0 \& 0 \& b\_3\\end{array}\\right\]\)\(=\\left\[\\begin{array}{} a\_1 b\_1 \& 0 \& 0\\ 0 \& a\_2 b\_2 \& 0\\ 0 \& 0 \& a\_3 c\_3\\end{array}\\right\]\)

对角矩阵乘法的交换律

\(\\Lambda\_1 \\Lambda\_2 = \\Lambda\_2 \\Lambda\_1\)

对角矩阵的幂

\(\\left\[ \\begin{array} { c c c c } { a\_1 } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { 0 } { 0 } \& { a \_ { 2 } } \& { \\cdots } \& { 0 } { \\vdots } \& { \\vdots } \& { \\ddots } \& { \\vdots } { 0 } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { a \_ { n } } \\end{array} \\right\] ^ { n } = \\left\[ \\begin{array} { c c c c } { a \_ { 1 } ^ { n } } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { 0 } { 0 } \& { a \_ { 2 } ^ { n } } \& { \\cdots } \& { 0 } { \\vdots } \& { \\vdots } \& { \\ddots } \& { \\vdots } { 0 } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { a \_ { n } ^ { n } } \\end{array} \\right\]\)

$\Lambda^n = \left[\begin{array}{} a_1 & 0 & 0\ 0 & a_2 & 0\ 0 & 0 & a_3\end{array}\right]^n = \left[\begin{array}{} a_1^n & 0 & 0\ 0 & a_2^n & 0\ 0 & 0 & a_3^n\end{array}\right] $

矩阵乘法没有交换律

一般的矩阵乘法没有交换律 ： \(AB \\neq BA\), \((\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{B})^{k} \\neq \\boldsymbol{A}^{k} \\boldsymbol{B}^{k}\) \((\\boldsymbol{A}+\\boldsymbol{B})^{2}\\neq\\boldsymbol{A}^{2}+2 \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{B}+\\boldsymbol{B}^{2}\) \((A-B)(A+B)\\neq A^{2}-B^{2}\)

只有在A与B可交换时，才能取等号。

注：\(AB = AC, A \\neq 0 \\nRightarrow B=C\)

行列向量的乘法

设\(\\alpha,\\beta\)都是n维列向量，则： \(\\alpha \\beta^T, \\beta \\alpha^T, \\alpha \\alpha^T\)都是\(n\\times n\)的矩阵； \(\\alpha^T \\beta, \\beta^T \\alpha, \\alpha^T \\alpha\)都是数，也可看成\(1\\times 1\)的矩阵。 \(\\alpha^T \\beta, \\beta^T \\alpha, \\alpha^T \\alpha\)分别是\(\\alpha \\beta^T, \\beta \\alpha^T, \\alpha \\alpha^T\)结果矩阵的迹。（矩阵的迹：主对角元素之和）

矩阵转置

矩阵的转置也是一种运算。

设\(A=\[a\_{ij}\]_{m\\times n}\)，将A的行列互换得到的\(n\\times m\)的矩阵\(\[a_{ji}\]\_{n\\times m}\)称为A的转置矩阵。记为\(A^T\)

转置性质/运算律

\((A+B)^T = A^T + B^T\) \((kA)^T = k A^T\) \((AB)^T = B^T A^T\) \((A^T)^T = A\)

逆矩阵与求逆运算

如果我们想要从\(AB=C\)中计算B时，该怎么做呢？

这里先提一下逆矩阵的概念：假设对于方阵A，若有方阵$A^{-1} \(，使得\)A^{-1} A = A A^{-1} = E\(。 则原等式两边可分别用\)A^{-1} \(左乘，即:\)A^{-1} A B = A^{-1} C\(， 得到\)B = A^{-1} C$

而其中的逆矩阵$A^{-1} $要怎么求呢？

实际上，可以通过对线性方程组（线性变换）进行逆变换，可以引出逆矩阵$A^{-1} $的概念以及求解步骤。 其中又用到了伴随矩阵的概念与性质，所以下面从伴随矩阵讲起。

伴随矩阵

伴随矩阵的概念

矩阵A的伴随矩阵： 行列式| A |的各个元素的代数余子式 A \(_{i j}\) 所构成的如下的矩阵 \(A^\* = \\left\[\\begin{array}{cccc}A_{11} \& A\_{21} \& \\cdots \& A\_{n 1} \\ A\_{12} \& A\_{22} \& \\cdots \& A\_{n 2} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ A\_{1 n} \& A\_{2 n} \& \\cdots \& A\_{nn}\\end{array}\\right\]\) （注意这里\(A\_{ij}\)的排列顺序）

即\(A^\* = (A\_{ji})=(A\_{ij})^T\), 称为A的伴随矩阵

注：代数余子式概念参见行列式章节

伴随矩阵的性质

\(A A^\* = A^\* A = |A| E\)

证明： 设 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{i j}\\right),\) 记 \(\\boldsymbol{A A}^{*}=\\left(b\_{i j}\\right),\) 则\(b\_{i j}=a\_{i 1} A\_{j 1}+a\_{i 2} A\_{j 2}+\\cdots+a\_{i n} A\_{j n}=|A| \\delta\_{i j}\)， 故\(\\boldsymbol{A A}^{*}=\\left(|\\boldsymbol{A}| \\delta\_{i j}\\right)=|\\boldsymbol{A}|\\left(\\delta\_{i j}\\right)=|\\boldsymbol{A}| \\boldsymbol{E}\) 类似有\(\\boldsymbol{A}^{\*} \\boldsymbol{A}=\\left(\\sum\_{k=1}^{n} A\_{k i} a\_{k j}\\right)=\\left(|\\boldsymbol{A}| \\delta\_{i j}\\right)=|\\boldsymbol{A}|\\left(\\delta\_{i j}\\right)=|\\boldsymbol{A}| \\boldsymbol{E}\)

\(A^{-1} = \\frac{1}{|A|} A^*, A^* = |A| A^{-1}\) （应该放到矩阵的逆矩阵章节）

二阶矩阵的伴随矩阵（仅适用于二阶矩阵）：主对角线互换，副对角线变号 \(\\left\[\\begin{array}{} a \& b \\ c \& d \\end{array}\\right\]^\* = \\left\[\\begin{array}{} d \& -b \\ -c \& a \\end{array}\\right\]\)

二阶矩阵的逆矩阵（公式是通用的，但是\(A^*\)只有二阶的比较好求）： \(A^{-1} = \\frac{1}{|A|} A^*\)

\((kA)^\* = k^{n-1} A^\*\)

\(|A^\*| = |A|^{n-1}\)

\((A^*)^* = |A|^{n-2} A\)

\((A^*)^T = (A^T)^*\)

\(A^{-1} = \\frac{1}{|A|} A^\*\)

\((A^*)^{-1} = (A^{-1})^* = \\frac{1}{|A|} A\)

\(r(A^\*) = \\left{\\begin{array}{}n, \& r(A) = n\\ 1, \& r(A)=n-1\\ 0, \&r(A)\<n-1 \\end{array}\\right.\)

证明：(用到了矩阵秩的性质八：\(r(A)+r(A^\*)\\le n\)，学完矩阵的秩和向量组之后再看这里的证明) 设A为n阶

若r（A）=n，则丨A丨不等于0，\(A^*=丨A丨A^{-1}\)可逆，推出\(r(A^*)=n\)。

若r（A）=n-2，则\(丨A丨=0\)且n-1阶子式全为0，因此\(A^*=0\)，即\(r(A^*)=0\)

若r（A）=n-1，则丨A丨等于0且存在n-1阶子式不为0，因此\(A^*\)不等于0，\(r(A^*)\\ge 1\) 又因为 \(AA^*=丨A丨E=0\)，\(r(A)+r(A^*)\\le n\)，\(r(A^*)\\le n-r(A) = 1\) 就可以得到\(r(A^*)=1\)

可逆矩阵

逆矩阵的引出：逆变换

给定一个线性变换： \(\\left{\\begin{array}{l}y\_{1}=a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n} \\ y\_{2}=a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n} \\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\ y\_{n}=a\_{n 1} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}\\end{array}\\right.\) 它的系数矩阵是一个 n 阶矩阵 A， 并取： \(\\boldsymbol{X}=\\left(\\begin{array}{c}x\_{1} \\ x\_{2} \\ \\vdots \\ x\_{n}\\end{array}\\right), \\boldsymbol{Y}=\\left(\\begin{array}{c}y\_{1} \\ y\_{2} \\ \\vdots \\ y\_{n}\\end{array}\\right)\) 则线性变换可记为： \(\\mathbf{Y}=\\mathbf{A X}\)

以 A 的伴随阵 \(A^*\)左乘上式两端： \(\\boldsymbol{A}^{*} \\boldsymbol{Y}=\\boldsymbol{A}^{*} \\boldsymbol{A X}\)\(=|\\boldsymbol{A}| \\boldsymbol{X}\) 当$| A | \neq 0 $ 时, 可解出\(\\boldsymbol{X}=\\frac{1}{|\\boldsymbol{A}|} \\boldsymbol{A}^{*} \\boldsymbol{Y}\),称为Y到X的线性变换，这是X到Y线性变换的逆变换。

记 \(\\mathbf{B}=\\frac{1}{|\\boldsymbol{A}|} \\boldsymbol{A}^\*\)，上式可记作\(X=B Y\) 将其代入X到Y的线性变换： \(\\boldsymbol{Y}=\\boldsymbol{A}\\boldsymbol{X}=\\boldsymbol{A}(\\boldsymbol{B} \\boldsymbol{Y})=(\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{B}) \\boldsymbol{Y}\)，故 \(\\boldsymbol{A B}=\\boldsymbol{E}\) 同理：\(\\boldsymbol{X}=\\boldsymbol{B}(\\boldsymbol{A X})=(\\boldsymbol{B A}) \\boldsymbol{X}\)，故\(B A=E\) 得到\(A B=B A=E\)，由此引入逆矩阵的定义。

可逆矩阵的定义

A是n阶方阵，如果存在n阶矩阵B，使得\(AB=BA = E\)成立，称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，记\(A^{-1} = B\)

由上面线性变换的逆变换可知，\(A^{-1}=\\frac{1}{|\\boldsymbol{A}|} \\boldsymbol{A}^\*\)

可逆矩阵的性质/运算律

定理：如果方阵A可逆，则A的逆矩阵唯一。

定理：方阵A可逆 \(\\Leftrightarrow\) \(|A| \\neq 0\)

结合后面所学的知识，还有：

方阵A可逆 \(\\Leftrightarrow\) \(|A| \\neq 0\) \(\\Leftrightarrow\) \(r(A)=n\) (秩为n) \(\\Leftrightarrow\) A的列/行向量线性无关 \(\\Leftrightarrow\) \(A=P\_1 P\_2 P\_3 … P\_s, P\_i (i=1, 2, 3… s)\) 为初等矩阵 \(\\Leftrightarrow\) A与单位矩阵等价 \(\\Leftrightarrow\) 0不是矩阵A的特征值

当|A|=0 时,A 称为奇异矩阵,否则称非奇异矩阵.所以可逆矩阵又称非奇异矩阵。

定理：设方阵A，B都n阶，且\(AB=E\)，则\(BA=E\)

方阵A可逆，\(\\Rightarrow\) \(A^{-1}\)可逆，且\((A^{-1})^{-1}= A\) 方阵A可逆，\(\\Rightarrow\) \(kA\)可逆，且\((kA)^{-1} = \\frac{1}{k} A^{-1}\) (\(k\\neq 0\)时) 方阵A可逆，\(\\Rightarrow\) \(A^T\)可逆，且\((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\) 方阵A，B都可逆，\(\\Rightarrow\) AB也可逆，且\((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\)

特别的， \((A^2)^{-1} = (A^{-1})^2\) \((A^n)^{-1} = (A^{-1})^n\)

当A可逆时，还可定义\(A^{0}=E, A^{-k}=\\left(A^{-1}\\right)^{k}\)，其中 k 为正整数 这样，当 A 可逆, \(\\lambda\) 、从 为整数时,有\({\\boldsymbol{A}}^{\\lambda}{\\boldsymbol{A}}^{\\mu}={\\boldsymbol{A}}^{\\lambda+\\mu},\\left({\\boldsymbol{A}}^{\\lambda}\\right)^{\\mu}={\\boldsymbol{A}}^{\\lambda \\mu}\)

方阵A可逆，则\(|A^{-1}| = \\frac{1}{|A|}\) 方阵A可逆，则\(A ^ { – 1 } = \\frac { 1 } { | A | } \\cdot A ^ { \* }\) 方阵A可逆，则\(\\left( A ^ { \* } \\right) ^ { – 1 } = \\left( A ^ { – 1 } \\right) ^ { \* }\)

注意：方阵A，B，A+B都可逆 \(\\nRightarrow\) \((A+B)^{-1} = A^{-1} + B^{-1}\)

对角矩阵\(\\Lambda\)的逆矩阵： \(\\left\[ \\begin{array} { c c c c } { a \_ {1} , } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { 0 } { 0 } \& { a \_ { 2 } } \& { \\cdots } \& { 0 } { \\vdots } \& { \\vdots } \& { \\ddots } \& { \\vdots } { 0 } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { a \_ { n } } \\end{array} \\right\] ^{-1} = \\left\[ \\begin{array} { c c c c } { \\frac { 1 } { a \_ { 1 } } } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { 0 } { 0 } \& { \\frac { 1 } { a \_ { 2 } } } \& { \\cdots } \& { 0 } { \\vdots } \& { \\vdots } \& { \\ddots } \& { \\vdots } { 0 } \& { 0 } \& { \\cdots } \& { \\frac { 1 } { a \_ { n } } } \\end{array} \\right\]\)

二阶矩阵求逆矩阵: 行列式分之一,乘以二阶伴随矩阵(主对角线互换, 副对角线取反),记作: \(\\left\[ \\begin{array} { l l } { a } \& { b } { c } \& { d } \\end{array} \\right\] ^ { – 1 } = \\frac { 1 } { a d – b c } \\left\[ \\begin{array}{l l} { d } \& { – b } { – c} \& { a } \\end{array} \\right\]\)

方阵求逆（逆矩阵的计算）

方法1：定义法

定义法\(AB=E\)

方法2：伴随矩阵法

\(A^{-1} = \\frac{1}{|A|} A^\*\) （二阶方阵好用，三阶也还行；高阶方阵的伴随矩阵计算量就太大了）

方法3：初等行变换

\((A|E) \\overset{\\text{由上往下}}{\\rightarrow}(\\text{上三角矩阵}|\\text{一般矩阵})\) \(\\overset{\\text{由下往上}}{\\rightarrow}(\\text{对角矩阵}|A^{-1})\)

方法4：分块矩阵求逆

${ \left[ \begin{array} { l l } { A } & { 0 }
{ 0 } & { B } \end{array} \right] ^ { – 1 } = \left[ \begin{array} { l l } { A ^ { – 1 } } & { 0 }
{ 0 } & { B ^ { – 1 } } \end{array} \right] } $ \({ \\left\[ \\begin{array} { l l } { 0 } \& { A } { B } \& { 0 } \\end{array} \\right\] ^ { – 1 } = \\left\[ \\begin{array} { l l } { 0 } \& { B ^ { – 1 } } { A ^ { – 1 } } \& { 0 } \\end{array} \\right\] }\)

可对角化方阵

\(\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}\)时，\(A=P A P^{-1}\)

可对角化方阵的n次幂： \(\\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{P \\Lambda P}^{-1}, \\boldsymbol{A}^{2}=\\boldsymbol{P \\Lambda P}^{-1} \\boldsymbol{P A P}^{-1}=\\boldsymbol{P A}^{2} \\boldsymbol{P}^{-1}, \\cdots, \\boldsymbol{A}^{n}=\\boldsymbol{P A}^{n} \\boldsymbol{P}^{-1}\)

矩阵 \(A\) 的 \(m\) 次多项式：

\(\\varphi(\\boldsymbol{A})=a\_{0} \\boldsymbol{E}+a\_{1} \\boldsymbol{A}+\\cdots+a\_{m} \\boldsymbol{A}^{m}\)\(\\varphi(\\boldsymbol{A})\)， 称为矩阵 \(A\) 的 \(m\) 次多项式.

方阵 \(\\boldsymbol{A}^{k}, \\boldsymbol{A}^{\\prime}\) 和 \(\\boldsymbol{E}\) 都是可交换的,所以矩阵 \(\\boldsymbol{A}\) 的两个多项式 \(\\varphi(\\boldsymbol{A})\) 和\(f(A)\) 总是可交换的, 即总有\(\\varphi(\\boldsymbol{A}) f(\\boldsymbol{A})=f(\\boldsymbol{A}) \\varphi(\\boldsymbol{A})\)

则平方、平方差公式成立

可对角化矩阵多项式的计算

1）如果 \(\\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{P \\Lambda P}^{-1},\) 则 \(\\boldsymbol{A}^{k}=\\boldsymbol{P} \\boldsymbol{\\Lambda}^{k} \\boldsymbol{P}^{-1},\) 从而： \(\\begin{aligned} \\varphi(\\boldsymbol{A}) \&=a\_{0} \\boldsymbol{E}+a\_{1} \\boldsymbol{A}+\\cdots+a\_{m} \\boldsymbol{A}^{m} \\ \&=\\boldsymbol{P} a\_{0} \\boldsymbol{E} \\boldsymbol{P}^{-1}+\\boldsymbol{P} a\_{1} \\boldsymbol{\\Lambda} \\boldsymbol{P}^{-1}+\\cdots+\\boldsymbol{P} a\_{m} \\boldsymbol{\\Lambda}^{m} \\boldsymbol{P}^{-1} \\ \&=\\boldsymbol{P} \\varphi(\\boldsymbol{\\Lambda}) \\boldsymbol{P}^{-1} \\end{aligned}\)

2）如果 \(\\boldsymbol{\\Lambda}=\\operatorname{diag}\\left(\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}\\right)\) 为对角阵,则 \(\\boldsymbol{\\Lambda}^{k}=\\operatorname{diag}\\left(\\lambda\_{1}^{k}, \\lambda\_{2}^{k}, \\cdots, \\lambda\_{n}^{k}\\right),\) 从而： \(\\varphi(\\mathbf{\\Lambda})=a\_{0} \\boldsymbol{E}+a\_{1} \\boldsymbol{\\Lambda}+\\cdots+a\_{m} \\boldsymbol{\\Lambda}^{m}\) \(=a\_{0}\\left(\\begin{array}{ccc}1 \& \\ \& 1 \\ \& \& \\ddots \\ \& \& \& 1\\end{array}\\right)+a\_{1}\\left(\\begin{array}{c}\\lambda\_{1}\& \& \&\\ \& \\lambda\_{2} \& \&\\\& \& \\ddots \& \\\& \& \& \\lambda\_n \\ \\end{array}\\right)+\\cdots+a\_{m}\\left(\\begin{array}{c}\\lambda\_{1}^{m} \& \& \& \&\\ \&\\lambda\_{2}^{m}\& \& \& \\ \& \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \&\\lambda\_{n}^{m}\\end{array}\\right)\) \(=\\left(\\begin{array}{cccc}\\varphi\\left(\\lambda\_{1}\\right) \& \& \& \\ \& \\varphi\\left(\\lambda\_{2}\\right) \& \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \\varphi\\left(\\lambda\_{n}\\right)\\end{array}\\right)\)

分块矩阵

分块矩阵的性质/运算律

分块矩阵加法

$\left[\begin{array}{} A_1 & A_2 \ A_3 & A_4 \end{array}\right] +\left[\begin{array}{} B_1 & B_2 \ B_3 & B_4 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{} A_1 + B_1 & A_2 + B_2 \ A_3 + B_3 & A_4 + B_4\end{array}\right] $

分块矩阵数乘

\(\\lambda \\boldsymbol{A}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\lambda \\boldsymbol{A}_{11} \& \\cdots \& \\lambda \\boldsymbol{A}_{1 r} \\ \\vdots \& \& \\vdots \\ \\lambda \\boldsymbol{A}_{s 1} \& \\cdots \& \\lambda \\boldsymbol{A}_{\\mathrm{sr}}\\end{array}\\right)\)

分块矩阵乘法

矩阵A、B作如下分块： \(\\boldsymbol{A}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\boldsymbol{A}_{11} \& \\cdots \& \\boldsymbol{A}_{11} \\ \\vdots \& \& \\vdots \\ \\boldsymbol{A}_{11} \& \\cdots \& \\boldsymbol{A}_{st}\\end{array}\\right), \\boldsymbol{B}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\boldsymbol{B}_{11} \& \\cdots \& \\boldsymbol{B}_{1 r} \\ \\vdots \& \& \\vdots \\ \\boldsymbol{B}_{11} \& \\cdots \& \\boldsymbol{B}_{t r}\\end{array}\\right)\) 则：

\(\\boldsymbol{A B}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\boldsymbol{C}_{11} \& \\cdots \& \\boldsymbol{C}_{1 r} \\ \\vdots \& \& \\vdots \\ \\boldsymbol{C}_{41} \& \\cdots \& \\boldsymbol{C}_{s r}\\end{array}\\right)\) 其中\(C\_{i j}=\\sum\_{k=1}^{t} A\_{i k} B\_{k j}(i=1, \\cdots, s ; j=1, \\cdots, r)\)

举例： $\left[\begin{array}{} A & B \ C & D \end{array}\right]\left[\begin{array}{} X & Y \ Z & W \end{array}\right] = \left[\begin{array}{} AX+BZ & AY+BW \ CX+DZ & CY+DW \end{array}\right] $

分块矩阵的转置

\(\\left\[\\begin{array}{} A \& B \\ C \& D \\end{array}\\right\]^T = \\left\[\\begin{array}{} A^T \& B^T \\ C^T \& D^T \\end{array}\\right\]\)

分块矩阵的方幂

\(\\left\[\\begin{array}{} A \& 0 \\ 0 \& B \\end{array}\\right\]^n = \\left\[\\begin{array}{} A^n \& 0 \\ 0 \& B^n \\end{array}\\right\]\)

分块矩阵的逆

\(\\left\[\\begin{array}{} A \& 0 \\ 0 \& B \\end{array}\\right\]^{-1} = \\left\[\\begin{array}{} A^{-1} \& 0 \\ 0 \& B^{-1} \\end{array}\\right\]\)

\(\\left(\\begin{array}{ll}O \& A \\ B \& O\\end{array}\\right)^{-1} = \\left(\\begin{array}{cc} O \& B^{-1} A^{-1} \& O \\end{array}\\right)\)

\(\\left(\\begin{array}{ll}A \& O \\ C \& B\\end{array}\\right)^{-1} = \\left(\\begin{array}{cc} A^{-1} \& 0 \-B^{-1} C A^{-1} \& B^{-1} \\end{array}\\right)\)

分块对角矩阵

分块对角矩阵概念

设 A 为 n 阶矩阵,若 A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块,其余 子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵, 即： \(\\boldsymbol{A}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\boldsymbol{A}_{1} \& \& \& \\boldsymbol{0} \\ \& \\boldsymbol{A}_{2} \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \\boldsymbol{O} \& \& \&\\boldsymbol{A}_{\\mathrm{s}}\\end{array}\\right)\) 其中 \(A_{i}(i=1,2, \\cdots, s)\) 都是方阵,那么称 \(\\boldsymbol{A}\) 为分块对角矩阵.

分块对角矩阵性质

\(|\\boldsymbol{A}|=\\left|\\boldsymbol{A}_{1}\\right|\\left|\\boldsymbol{A}_{2}\\right| \\cdots|\\boldsymbol{A},|\)

若 \(\\left|\\boldsymbol{A}_{i}\\right| \\neq 0(i=1,2, \\cdots, s),\) 则 \(|\\boldsymbol{A}| \\neq 0,\) 并有： \(\\boldsymbol{A}^{-1}=\\left\[\\begin{array}{ccc}\\boldsymbol{A}_{1}^{-1} \& \& \\boldsymbol{O} \\ \& \\boldsymbol{A}_{2}^{-1} \& \\ \& \\ddots \& \\ \\boldsymbol{O} \& \& \\boldsymbol{A}_{s}^{-1}\\end{array}\\right\]\)

按列分块的乘法

$AB = A(\beta_1, \beta_2 , \cdots , \beta_n) = (A\beta_1, A\beta_2 , \cdots , A\beta_n) $

有时候，将矩阵按行或按列分块后，会便于理解及计算。

矩阵乘法的理解： 若把 A 按行分成m 块,把 B 按列分成 n 块,便有： \(\\boldsymbol{A B}=\\left(\\begin{array}{c}\\boldsymbol{\\alpha}_{1}^{\\mathrm{T}} \\ \\boldsymbol{\\alpha}_{2}^{\\mathrm{T}} \\ \\vdots \\ \\boldsymbol{\\alpha}_{\\mathrm{m}}^{\\mathrm{T}}\\end{array}\\right)\\left(\\boldsymbol{b}_{1}, \\boldsymbol{b}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{b}_{n}\\right)=\\left(\\begin{array}{cccc}\\boldsymbol{\\alpha}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{1} \& \\boldsymbol{\\alpha}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{2} \& \\cdots \& \\boldsymbol{\\alpha}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{n} \\ \\boldsymbol{\\alpha}_{2}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{1} \& \\boldsymbol{\\alpha}_{2}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{2} \& \\cdots \& \\boldsymbol{\\alpha}_{2}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ \\boldsymbol{\\alpha}_{m}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{1} \& \\boldsymbol{\\alpha}_{m}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{2} \& \\cdots \& \\boldsymbol{\\alpha}_{m}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{b}_{\\mathrm{n}}\\end{array}\\right)=\\left(c\_{i j}\\right)_{m \\times n}\) 其中： \(c_{i j}=\\boldsymbol{\\alpha}_{i}^{\\top} \\boldsymbol{b}_{j}=\\left(a\_{i 1}, a\_{i 2}, \\cdots, a\_{i s}\\right)\\left(\\begin{array}{c}b\_{1 j} \\ b\_{2 j} \\ \\vdots \\ b\_{s j}\\end{array}\\right)=\\sum\_{k=1}^{s} a\_{i k} b\_{k j}\)

矩阵每行分别缩放一定倍数的理解： 以对角阵 A \(_{m}\) 左乘矩阵 \(\\boldsymbol{A}_{m \\times n}\) 时,把 A 按行分块,有： \(\\boldsymbol{\\Lambda}_{m} \\boldsymbol{A}_{m \\times n}=\\left(\\begin{array}{ccc}\\lambda\_{1}\& \& \& \\\& \\lambda\_{2} \& \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \\lambda\_{m}\\end{array}\\right)\\left\[\\begin{array}{c}\\boldsymbol{\\alpha}_{1}^{\\mathrm{T}} \\ \\boldsymbol{\\alpha}_{2}^{\\mathrm{T}} \\ \\vdots \\ \\boldsymbol{\\alpha}_{m}^{\\mathrm{T}}\\end{array}\\right\]=\\left\[\\begin{array}{c}\\lambda_{1} \\boldsymbol{\\alpha}_{1}^{\\mathrm{T}} \\ \\lambda_{2} \\boldsymbol{\\alpha}_{2}^{\\mathrm{T}} \\ \\vdots \\ \\lambda_{m} \\boldsymbol{\\alpha}\_{m}^{\\mathrm{T}}\\end{array}\\right\]\)

矩阵每列分别缩放一定倍数的理解： 以对角阵 A, 右乘矩阵 \(A\_{m \\times n}\) 时,把 A 按列分块,有： \(\\boldsymbol{A \\Lambda}_{n}=\\left(a_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{n}\\right) \\left( \\begin{array}{ccc}\\lambda\_{1} \& \& \&\\ \&\\lambda\_{2} \& \&\\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \\lambda\_{n}\\end{array}\\right)=\\left(\\lambda\_{1} a\_{1}, \\lambda\_{2} a\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n} a\_{n}\\right)\)

方阵的行列式

行列式章节大部分已经介绍过，这里只作罗列：

\(| A^T|=| \\boldsymbol{A} \\mid\)

\(|\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{B}|=|\\boldsymbol{A}||\\boldsymbol{B}|\)

\(|k \\mathbf{A}|=k^{n}|\\mathbf{A}|\)

\(|A B|=|A||B|\)，以及推论\(|A^2| = |A|^2, |A^n| = |A|^n\)

\(\\left|\\boldsymbol{A}^{\*}\\right|=|\\boldsymbol{A}|^{n-1}\)

\(\\left|\\boldsymbol{A}^{-1}\\right|=|\\boldsymbol{A}|^{-1}\)

若 \(\\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶矩阵 \(, \\lambda\_{i}(i=1,2, \\cdots, n)\) 是 \(\\boldsymbol{A}\) 的特征值,则 \(|\\boldsymbol{A}|=\\prod\_{i=1}^{n} \\lambda\_{i}\)

若矩阵 \(\\boldsymbol{A}\) 和 \(\\boldsymbol{B}\) 相似 \(\\boldsymbol{A} \\sim \\boldsymbol{B},\) 则 \(|\\boldsymbol{A}|=|\\boldsymbol{B}|\)

若\(A^*\)是 A 的伴随矩阵,则\(\\boldsymbol{A A}^{*}=\\boldsymbol{A}^{\*} \\boldsymbol{A}=|\\boldsymbol{A}| \\boldsymbol{E}\)

如果 A 和 B 分别是 \(m\) 阶和 \(n\) 阶矩阵,则： \(\\left|\\begin{array}{ll}\\boldsymbol{A} \& \* \\ \\boldsymbol{O} \& \\boldsymbol{B}\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ll}\\boldsymbol{A} \& \\boldsymbol{O} \\ \* \& \\boldsymbol{B}\\end{array}\\right|=|\\boldsymbol{A}| \\cdot|\\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵 \(\\left|\\begin{array}{cc}\\boldsymbol{O} \& \\boldsymbol{A} \\ \\boldsymbol{B} \& *\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{cc}* \& \\boldsymbol{A} \\ \\boldsymbol{B} \& \\boldsymbol{O}\\end{array}\\right|=(-1)^{m n}|\\boldsymbol{A}| \\cdot|\\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵,m和n为A与B的阶数

注意：对于 \(n\) 阶矩阵 \(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B},\) 一般来说 \(\\boldsymbol{A B} \\neq \\boldsymbol{B A}\),但总有\(|A B|=|B A|\)