基础数学-代数

代数等式

\(a^{3}+b^{3}=(a+b)\\left(a^{2}-a b+b^{2}\\right)\)

\(a^{3}-b^{3}=(a-b)\\left(a^{2}+a b+b^{2}\\right)\)

\(1^{2}+2^{2}+\\cdots+n^{2}=\\frac{n(n+1)(2 n+1)}{6}\)

复数运算

\(|x+y i|=\\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)

\(|z|=|\\bar{z}|\)

\(z+\\bar{z}=2 a(\) 实数 \(), \\quad z-\\bar{z}=2 b i\)

\(z \\cdot \\bar{z}=|z|^{2}=a^{2}+b^{2}(\) 实数 \()\)

\(\\overline{z\_{1}+z\_{2}}=\\bar{z}_{1}+\\bar{z}_{2}\)

\(\\overline{z\_{1}-z\_{2}}=\\bar{z}_{1}-\\bar{z}_{2}\)

\(\\overline{z\_{1} \\cdot z\_{2}}=\\bar{z}_{1} \\cdot \\bar{z}_{2}\)

\(\\overline{z\_{1} / z\_{2}}=\\bar{z}_{1} / \\bar{z}_{2}\\left(z\_{2} \\neq 0\\right)\)

代数不等式

基本不等式（均值不等式）

\(\\frac{a+b}{2} \\geqslant \\sqrt{a b} \\quad(a\>0, b\>0)\)，当且仅当\(a=b\)取等号。

或\(a+b \\geq 2 \\sqrt{a b},(a\>0, b\>0)\)

基本不等式变形

\(a+b \\geq 2 \\sqrt{a b}\) ，当且仅当\(a=b\)取等号。

\(\\frac{b}{a}+\\frac{a}{b} \\geq 2\)，其中a, b同号。

\(a b \\leq\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2} \\quad(a, b \\in R)\)

\(\\left(\\frac{a+b}{2}\\right)^{2} \\leq \\frac{a^{2}+b^{2}}{2}(a, b \\in R)\)

代数算法

长除法

长除法俗称「长除」，适用于整式除法、小数除法、多项式除法（即因式分解）等较重视计算过程和商数的除法，过程中兼用了乘法和减法。是代数中的一种算法，用一个同次或低次的多项式去除另一个多项式。是常见算数技巧长除法的一个推广版本。

它可以很容易地手算，因为它将一个相对复杂的除法问题分解成更小的一些问题。

步骤：

1）被除数与除数按同一字母的降幂排列，缺陷用零补齐； [1]

2）用竖式进行运算；

3）当余式次数低于除式次数时，运算终止，得到商式和余式。