基础数学-几何

距离公式

点到直线的距离

设直维L的方程为Ax+By+C=0，点 P的坐标为\((x\_0,y\_0)\)，则点 P到直线L的距离为： \(\\frac{\\left|A x\_{0}+B y\_{0}+C\\right|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)

两条直线间的距离

设直线L1的方程为 \(A x+B y+C\_{1}=0 \\quad ;\) 直线L2的方程为 \(A x+B y+C\_{2}=0\) 则 2条平行线之间的间距 \(: \\frac{\\left|C\_{1}-C\_{2}\\right|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}}}\)

三角形中的公式

正弦定理

正弦定理

在任意\(\\triangle ABC\)中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R，直径为D。则有： \(\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{b}{\\sin B}=\\frac{c}{\\sin C}=2 R=D\) 一个三角形中，各边和所对角的正弦之比相等，且该比值等于该三角形外接圆的直径（半径的2倍）长度。

正弦定理的推广

\(\\triangle A B C\) 中，若角A, \(B,\) C所对的边为a, \(b, c,\) 三角形外接圆半径为 \(R,\) 直径为D，正弦定理进行变形有： \(a=2 R \\sin A, b=2 R \\sin B, c=2 R \\sin C\) \(a\\sin B=b\\sin A, b\\sin C=c\\sin B, a\\sin C=c\\sin A\) \(a: b: c=\\sin A: \\sin B: \\sin C\) \(\\frac{a}{\\sin A}=\\frac{a+b}{\\sin A+\\sin B}=\\frac{a+b+c}{\\sin A+\\sin B+\\sin C} \\quad\) (等比，不变) \(S=\\frac{1}{2} a b \\sin C=\\frac{1}{2} a c \\sin B=\\frac{1}{2} b c \\sin A=\\frac{a b c}{4 R}=\\frac{a b c}{2 D} \\quad\) (三角形面积公式)

余弦定理

对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

若三边为a，b, c ，对角分别为A（ \(\\alpha\) ), B ( \(\\beta\) ) , \(\\mathrm{C}(\\gamma)\)，有：

\(c^{2}=a^{2}+b^{2}-2 a b \\cos \\gamma\) \(b^{2}=c^{2}+a^{2}-2 a c \\cos \\beta\) \(a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \\cos \\alpha\)

或者： \(\\cos \\alpha=\\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}\) \(\\cos \\beta=\\frac{c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2 c a}\) \(\\cos \\gamma=\\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2 a b}\)

或者：

\(\\cos \\alpha=\\frac{\\sin ^{2} \\beta+\\sin ^{2} \\gamma-\\sin ^{2} \\alpha}{2 \\sin \\beta \\sin \\gamma}\) \(\\cos \\beta=\\frac{\\sin ^{2} \\gamma+\\sin ^{2} \\alpha-\\sin ^{2} \\beta}{2 \\sin \\gamma \\sin \\alpha}\) \(\\cos \\gamma=\\frac{\\sin ^{2} \\alpha+\\sin ^{2} \\beta-\\sin ^{2} \\gamma}{2 \\sin \\alpha \\sin \\beta}\)

解析几何

利用坐标求三角形面积

写成二阶行列式为：： \(\\mathbf{S}_{\\Delta}=\\left|\\frac{1}{2}\\left| \\begin{array}{ll}\\mathbf{x}_{2}-\\mathbf{x}_{1} \& \\mathbf{y}_{2}-\\mathbf{y}_{1} \\ \\mathbf{x}_{3}-\\mathbf{x}_{1} \& \\mathbf{y}_{3}-\\mathbf{y}\_{1}\\end{array} \\right|\\right|=\\left|\\frac{1}{2} \\vec{AB} \\times \\vec{AC}\\right|\)

写成三阶行列式为： 略

参考：三横先生.三角形的面积公式八叙.知乎.https://zhuanlan.zhihu.com/p/25793392

二次曲线/圆锥曲线

https://zhuanlan.zhihu.com/p/36508439

https://zhuanlan.zhihu.com/p/64426664

https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF?fromtitle=%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E6%9B%B2%E7%BA%BF&fromid=517812

椭圆的面积

\(S=\\pi a b\)，其中a、b分别是椭圆的长半轴，短半轴的长

椭圆的切线方程

求圆的切线的几种方法

椭圆切线方程:\(\\frac{x\_0}{a^2} x + \\frac{y\_0}{b^2} y=1\)

设椭圆\(x^2/a^2+y^2/b^2=1\)在\((x\_0,y\_0)\)处切线斜率为k 则求导得\(2 x\_0/a^2+2 k y\_0/b^2=0\) 解得\(k=-x\_0 b^2/y\_0 a^2\) 故切线方程\(y-y\_0=(-x\_0 b^2/y\_0 a^2)(x-x\_0)\) 整理得切线方程:\(x\_0 x/a^2 + y\_0 y/b^2=1\) 类似可得双曲线的切线方程,乃至二元二次曲线的切线方程

立体几何

四面体体积

四面体的体积 \(V\) 等于以向量 \(\\overrightarrow{A B}, \\overrightarrow{A C}\) 和\(\\overrightarrow{A D}\)为棱的平行六面体的体积的1/6