高等数学-多元积分学-重积分

由一元函数积分学我们知道，定积分是某种形式的和的极限。这种和的极限的概念推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数的情形，就得到了重积分、曲线积分以及曲面积分的概念。

二重积分的概念与性质

二重积分概念的引入

曲顶柱体的体积

对于平顶柱体体积：体积 = 高 \(\\times\) 底面积

对于曲顶柱体，需要将底面（区域）划分为足够小的区域，用极限理论来讨论。

首先,用一组曲线网把 区域D 分成 n 个小闭区域\(\\Delta \\sigma\_{1}, \\Delta \\sigma\_{2}, \\cdots, \\Delta \\sigma\_{n}\). 则曲顶柱体可以看作是以小闭区域为底面的小曲顶柱体组成的。

\(f(x, y)\) 连续,对于一个很小的小闭区域\(\\Delta \\sigma\_{i}\)来说 \(, f(x, y)\) 变化很小,我们可以近似看作小平顶柱体。 从\(\\Delta \\sigma\_{i}\)中任取一点\(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right),\) 以 \(f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right)\) 为高而底面积为\(\\Delta \\sigma\_{i}\)的体积为\(f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i} \\quad(i=1,2, \\cdots, n)\) 则这n个小平顶柱体的总体积为\(\\sum\_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)，即原曲顶柱体的体积近似为\(\\sum\_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)。 当这n个小闭区域的直径的最大值（记作\(\\lambda\)）趋于0时，取上述和的极限，所得极限自然的定义为曲顶柱面的体积\(V=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)

注：闭区域的直径指区域上任意两点的最大距离。

平面薄片的质量

对于均匀薄片（ 面密度是常数），质量为：质量=面密度 \(\\times\) 面积

对于不均匀的薄片，需要将平面（区域）划分为足够小的区域，用极限理论来讨论。

首先,用一组曲线网把 区域D 分成 n 个小闭区域\(\\Delta \\sigma\_{1}, \\Delta \\sigma\_{2}, \\cdots, \\Delta \\sigma\_{n}\). 则平面薄板的质量可以看作是以小闭区域（小块）的质量的总和。

由于 \(\\mu(x, y)\) 连续,对于每个小块（小 块所占的小闭区域 \(\\Delta \\sigma\_{i}\) 的直径很小）,这些小块就可以近似地看做均匀薄片. 在 \(\\Delta \\sigma\_{i}\) 上任取一点 \(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right)\), 以点 \(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right)\)的面密度为近似面密度，这个小块\(\\Delta \\sigma\_{i}\)的近似质量为\(\\mu\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i} \\quad(i=1,2, \\cdots, n)\)。 对这n个小块的质量求和，即平面薄板的近似总质量为\(\\sum\_{i=1}^{n} \\mu\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_i\) 取极限，极限值可自然定义为平面薄板的质量\(m=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} \\mu\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)

二重积分的定义

二重积分的定义

设 \(f(x, y)\) 是有界闭区域 \(D\) 上的有界函数. 将闭区域 D 任意分成 n 个小闭区域\(\\Delta \\sigma\_{1}, \\Delta \\sigma\_{2}, \\cdots, \\Delta \\sigma\_{n}\)，其中 \(\\Delta \\sigma\_{i}\) 表示第 \(i\) 个小闭区域，也表示它的面积。

在每个 \(\\Delta \\sigma\_{i}\) 上任取一点\(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right),\) 作乘积 \(f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}(i=1,2, \\cdots, n),\) 并作和 \(\\sum\_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)。

若各小闭区域\(\\Delta \\sigma\_{i}\) 的最大直径\(\\lambda \\rightarrow 0\)时，和的极限\(\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)总存在，且极限值且与区域D划分\(\\Delta \\sigma\_{i}\) 的分法无关，也与 \(\\Delta \\sigma\_{i}\) 上\(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right)\)取法无关 ， 那么称此极限为函数 \(f(x, y)\) 在闭区域 D 上的二重积分，记作\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)

其中 \(f(x, y)\) 叫做被积函数 , $ f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 叫做被积表达式 ， \(\\mathrm{d} \\sigma\) 叫做面积元素， ,\(x\) 与 \(y\)叫做积分变量, D 叫做积分区域, \(\\sum\_{i}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\) 叫做积分和.

二重积分的性质

（二重积分存在的充分条件）当 \(f(x, y)\) 在闭区域 D 上连续时，函数 \(f(x, y)\) 在 \(D\) 上的二重积分必定存在

（数乘和加法性质）设 \(\\alpha\) 与 \(\\beta\) 为常数,则\(\\iint\_{D}\[\\alpha f(x, y)+\\beta g(x, y)\] \\mathrm{d} \\sigma=\\alpha \\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma+\\beta \\iint\_{D} g(x, y) \\mathrm{d} \\sigma\)

（积分区域可加性）若\(D\) 分为两个闭区域 \(D\_{1}\) 与 \(D\_{2}\)，则\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\iint\_{D\_{1}} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma+\\iint\_{D\_{2}} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma\)

（$ f(x, y)=1$时的几何意义）如果在 \(D\)上 ，$ f(x, y)=1\(, 则\)\sigma=\iint_{D} 1 \cdot \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} \mathrm{d} \sigma$ 为 \(D\) 的面积

（二重积分的比较）如果在 \(D\)上$ f(x, y) \leqslant g(x, y),$ 那么有\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma \\leqslant \\iint\_{D} g(x, y) \\mathrm{d} \\sigma\)

（重积分的比较的推论）由于\(-|f(x, y)| \\leqslant f(x, y) \\leqslant|f(x, y)|\)，所以有\(\\left|\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma\\right| \\leqslant \\iint\_{D}|f(x, y)| \\mathrm{d} \\sigma\)

（重积分的最值定理/估值不等式）设 \(M\) 和 \(m\) 分别是 \(f(x, y)\) 在闭区域 \(D\) 上的最大值和最小值, \(\\sigma\) 是 \(D\)的面积，则有\(m \\sigma \\leqslant \\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma \\leqslant M \\sigma\)

（二重积分的中值定理：可用上一条性质证明）设函数 \(f(x, y)\) 在闭区域 \(D\) 上连续, \(\\sigma\) 是 \(D\)的面积，则在 D 上至少存在一点( \(\\xi, \\eta)\), 使得\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=f(\\xi, \\eta) \\sigma\)

二重积分的积分区域对称性与积分函数奇偶性

积分区域D关于y轴对称（左右对称）， 设右侧积分区域为\(D\_1\),则（把y先看作常数，观察被积函数对于x的奇偶性） \(\\left{ \\begin{aligned}f(-x,y)=-f(x,y), \&\\Rightarrow \\iint\_D f(x,y) d\\sigma = 0 \\ f(-x,y)= f(x,y), \&\\Rightarrow \\iint\_D f(x,y)d\\sigma = 2 \\iint\_{D\_1} f(x,y)d\\sigma \\end{aligned}\\right.\)

积分区域D关于x轴对称（上下对称）， 设上侧积分区域为\(D\_1\)，则（把x看作常数，观察被积函数关于y的奇偶性） \(\\left{ \\begin{aligned}f(x,-y)=-f(x,y), \&\\Rightarrow \\iint\_D f(x,y) d\\sigma = 0 \\ f(x,-y)= f(x,y), \&\\Rightarrow \\iint\_D f(x,y)d\\sigma = 2 \\iint\_{D\_1} f(x,y)d\\sigma \\end{aligned}\\right.\)

积分区域D关于\(y=x\)对称，则： \(\\iint\_{D} f(x, y) d \\sigma=\\iint f(y, x) d \\sigma\)

二重积分的积分中值定理

若 \(f(x, y)\) 和 \(g(x, y)\) 在 \(D\) 上连续, 且\(g(x, y)\) 在 \(D\) 上不变号, 则存在\((\\xi, \\eta) \\in D,\) 使等式\(\\iint\_{D} f(x, y) g(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=f(\\xi, \\eta) \\iint\_{D} g(x, y) \\mathrm{d} \\sigma\)成立, 其中 D 是有界连通闭区域.

（用介值定理可以证明，参考：知乎网友的回答）

二重积分的计算

二重积分的计算，除了用定义计算，一般需要化为两次单积分（定积分）来计算。

用定义计算二重积分

略

计算二重积分：在直角坐标系化为二次积分

下面讨论在直角坐标系中将二重积分化为二次定积分的方法。

直角坐标系中的二重积分

根据二重积分的定义\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)，对于闭区域D的划分是任意的。如果在直角坐标系中，用平行于坐标轴的直线网来划分 D,那么除了包含边界点的一些小闭区域外,其余的小闭区域都是矩形闭区域.

设矩形闭区域 \(\\Delta \\sigma,\) 的边长为 \(\\Delta x\_{j}\) 和 \(\\Delta y\_{k},\) 则\(\\Delta \\sigma\_{i}=\\Delta x\_{j} \\cdot \\Delta y\_{k} \\cdot\) 因此在直角坐标系中,有时也把面积元素 \(\\mathrm{d} \\sigma\) 记作 \(\\mathrm{d} x \\mathrm{d} y,\)而把（直角坐标系中）二重积分记作\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\)

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素。

X型区域上二重积分的计算

X型二重积分的积分区域如下图所示：

其积分区域D可以用如下不等式来表示：

对于在这种区域上的二重积分，化为先对y积分再对x积分的二次定积分比较简单。（先对y积分时被积函数中出现的x可以当作常数来处理）

\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\int\_{a}^{b}\\left\[\\int\_{\\varphi\_{1}(x)}^{\\varphi\_{2}(x)} f(x, y) \\mathrm{d} y\\right\] \\mathrm{d} x = \\int\_{a}^{b} \\mathrm{d} x \\int\_{\\varphi\_{1}(x)}^{\\varphi\_{2}(x)} f(x, y) \\mathrm{d} y\)

Y型区域上二重积分的计算

Y型二重积分的积分区域如下图所示：

其积分区域D可以用如下不等式来表示： \(\\psi\_{1}(y) \\leqslant x \\leqslant \\psi\_{2}(y), c \\leqslant y \\leqslant d\)

对于在这种区域上的二重积分，化为先对x积分再对y积分的二次定积分比较简单。（先对x积分时被积函数中出现的y可以当作常数来处理）

\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\int\_{c}^{d}\\left\[\\int\_{\\psi\_{1}(y)}^{\\psi\_{2}(y)} f(x, y) \\mathrm{d} x\\right\] \\mathrm{d} y = \\int\_{c}^{d} \\mathrm{d} y \\int\_{\\psi\_{1}(y)}^{\\psi\_{2}(y)} f(x, y) \\mathrm{d} x\)

混合型区域上二重积分的计算

类似这样的混合型区域上的二重积分，可以拆分成多个X型区域或者Y型区域来计算

计算二重积分：直角坐标系转换为极坐标系，在极坐标系化为二次积分

某些二重积分，满足： 积分区域D的边界用极坐标方程表示比较简单（主要）， 被积函数用极坐标变量\(\\rho, \\theta\)表示比较简单（次要）， 这个时候，我们可以考虑用极坐标来计算二重积分。

下面讨论在极坐标

直角坐标系中的二重积分转换为极坐标系中的二重积分

根据二重积分的定义\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)，我们考虑在极坐标系的表示。

二重积分积分区域D的划分是任意的，考虑以极坐标系极轴方向、角向方向划分网格，把积分区域D划分为n个小区域，如下图所示：

除包含边界点的一些小区域外，小闭区域的\(\\Delta \\sigma\_{i}\)面积可如下表示（扇形面积相减）： \(\\begin{aligned} \\Delta \\sigma\_{i} \&=\\frac{1}{2}\\left(\\rho\_{i}+\\Delta \\rho\_{i}\\right)^{2} \\cdot \\Delta \\theta\_{i}-\\frac{1}{2} \\rho\_{i}^{2} \\cdot \\Delta \\theta\_{i}=\\frac{1}{2}\\left(2 \\rho\_{i}+\\Delta \\rho\_{i}\\right) \\Delta \\rho\_{i} \\cdot \\Delta \\theta\_{i} \\ \&=\\frac{\\rho\_{i}+\\left(\\rho\_{i}+\\Delta \\rho\_{i}\\right)}{2} \\cdot \\Delta \\rho\_{i} \\cdot \\Delta \\theta\_{i}=\\bar{\\rho}_{i} \\cdot \\Delta \\rho_{i} \\cdot \\Delta \\theta\_{i} \\end{aligned}\)

直角坐标与极坐标之间的关系为： \(\\left{\\begin{array}{} x = \\rho \\cos \\theta \\ y = \\rho \\sin \\theta\\end{array}\\right.\) 则小区域\(\\Delta \\sigma\_{i}\)中一点\(\\left(\\bar{\\rho}_{i}, \\bar{\\theta}_{i}\\right)\)，直角坐标设为 \(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right)\)，则有： \(\\left{\\begin{array}{} \\xi\_{i}=\\bar{\\rho}_{i} \\cos \\bar{\\theta}_{i} \\ \\eta\_{i}=\\bar{\\rho}_{i} \\sin \\bar{\\theta}_{i}\\end{array}\\right.\)

则根据二重积分定义有：

\(\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\rho\_{i} \\cos \\bar{\\theta}_{i}, \\bar{\\rho}_{i} \\sin \\bar{\\theta}_{i}\\right) \\bar{\\rho}_{i} \\cdot \\Delta \\rho\_{i} \\cdot \\Delta \\theta\_{i}\)

即极坐标中，二重积分的表示为： \(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\iint\_{D} f(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta) \\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta\)

我们也可以得到二重积分的变量从直角坐标到极坐标的 变换公式： \(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y=\\iint\_{D} f(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta) \\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta\)

以上也表明,要把二重积分中的变量从直角坐标变换为极坐标，只要 把被积函数中的 x 与 \(y\) 分別换成 \(\\rho \\cos \\theta\) 与 \(\\rho \\sin \\theta .\) 并把直角坐标系 中的面积元素 dxdy 换成极坐标系中的面积元素 \(\\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta\)

极坐标系中二重积分的计算

极坐标系中方便计算的积分区域如下所示：

其积分区域D可用如下不等式表示： \(\\varphi\_{1}(\\theta) \\leqslant \\rho \\leqslant \\varphi\_{2}(\\theta), \\alpha \\leqslant \\theta \\leqslant \\beta\)

\(\\iint\_{D} f(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta) \\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta=\\int\_{\\alpha}^{\\beta}\\left\[\\int\_{\\varphi\_{1}(\\theta)}^{\\varphi\_{2}(\\theta)} f(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta) \\rho \\mathrm{d} \\rho\\right\] \\mathrm{d} \\theta\)

\(=\\int\_{\\alpha}^{\\beta} \\mathrm{d} \\theta \\int\_{\\varphi\_{1}(\\theta)}^{\\varphi\_{2}(\\theta)} f(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta) \\rho \\mathrm{d} \\rho\)

对于以下的积分区域，可以看作上面情况的特例：

其积分区域D可用如下不等式表示： 特例型1：\(0 \\leqslant \\rho \\leqslant \\varphi(\\theta), \\quad \\alpha \\leqslant \\theta \\leqslant \\beta\) 特例型2：\(0 \\leqslant \\rho \\leqslant \\varphi(\\theta), \\quad 0 \\leqslant \\theta \\leqslant 2 \\pi\)

计算方法不变。

二重积分中坐标系的变换（换元）

定理：设 \(f(x, y)\) 在 \(x O y\) 平面上的闭区域 D 上连续, 若变换\(T: x=x(u, v), y=y(u, v)\)将 uOv 平面上的闭区域 D’变为 xOy 平面上的 D， 且满足： （1）$x(u, v), y(u, v) $在 \(D^{\\prime}\)上具有一阶连续偏导数 （2）在 D’上雅可比式\(J(u, v)=\\frac{\\partial(x, y)}{\\partial(u, v)} \\neq 0\) （3）变换 \(T: D^{\\prime} \\rightarrow D\) 是一对一的 , 则有\(\\iint\_{D} f(x, y) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y=\\iint\_{D^{\\prime}} f\[x(u, v), y(u, v)\]|J(u, v)| \\mathrm{d} u \\mathrm{d} v\)，称为二重积分的换元公式。

（证明见 高等数学 同济 第七版（下））

注：雅可比行列式\(J(u,v) = \\left|\\begin{array}{ll}x\_{u}(u, v) \& x\_{v}(u, v) \\ y\_{u}(u, v) \& y\_{v}(u, v)\\end{array}\\right|\) 上面的定理中出现的是雅可比行列式的绝对值\(|J(u,v)|\)

二重积分改变积分次序

二重积分选定合适的坐标系、变换为二次积分，就可以计算求解了。

如果变换积分次序，二次积分更好计算（或者不变换积分次序无法计算），可以考虑变换积分次序。

根据积分区域及其边界，可以对二次积分变换积分次序

不变换积分次序无法计算的情形： \(x^{2 n} e^{\\pm x^{2}} d x\) \(e^{\\frac{1}{x}} d x\) \(\\sin \\frac{1}{x} d x\) \(\\cos \\frac{1}{x} d x\)

三重积分的概念与性质

定积分和二重积分作为和的极限的概念，可以很容易推广到三重积分。

三重积分的定义

设 \(f(x, y, z)\) 是空间有界闭区域 \(\\Omega\) 上的有界函数. 将 \(\\Omega\) 任 意分成 \(n\) 个小比区域\(\\Delta v\_{1}, \\Delta v\_{2}, \\cdots, \\Delta v\_{n}\)，其中 \(\\Delta v\_{i}\) 表示第 \(i\) 个小闭区域，也表示它的体积. 在每个 \(\\Delta v\_{i}\) 上任取一点\(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}, \\zeta\_{i}\\right),\) 作乘积 \(f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}, \\zeta\_{i}\\right) \\Delta v\_{i} \\quad(i=1,2, \\cdots, n),\)并作和 \(\\sum\_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}, \\zeta\_{i}\\right) \\Delta v\_{i}\)， 如果各小闭区域直径中的最大值 \(\\lambda \\rightarrow 0\) 时,这和的极限总存在,且与闭区域$ \Omega $的分法及点 \(\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}, \\zeta\_{i}\\right)\) 的取法无关,那么称此极限为函数 \(f(x, y, z)\) 在闭区域 \(\\Omega\) 上的三重积分，记作\(\\iiint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} v=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}, \\zeta\_{i}\\right) \\Delta v\_{i}\)

其中 \(f(x, y, z)\) 叫做被积函数, \(\\mathrm{d} v\) 叫做体积元素, \(\\Omega\) 叫做积分区域.

直角坐标系中的三重积分

在直角坐标系中,如果用平行于坐标面的平面来划分 \(\\Omega\),那么除了包含 \(\\Omega\) 的边界点的一些不规则小闭区域外,得到的小闭区域$ \Delta v_{i}$ 为长方体。 设长方体小闭区域 \(\\Delta v\_{i}\) 的边长为 \(\\Delta x\_{j}, \\Delta y\_{k}\) 与 \(\\Delta z\_{l},\) 则 \(\\Delta v\_{i}=\\Delta x\_{j} \\Delta y\_{k} \\Delta z\_{l} .\) 因 此 在直角坐标系中，有 时也扑体积元素 \(d v\) 记作 \(\\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z,\) 而把三重积分记作\(\\iiint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z\)

三重积分的性质

三重积分的而行之与二重积分的性质一致。

这里特别注意一下三重积分奇偶性对称性。

三重积分的积分区域的对称性和被积函数的奇偶性

被积区域\(\\Omega\)关于\(xOy\)面对称（上下对称），设上侧区域为\(\\Omega\_1\)， \(\\left{ \\begin{aligned}f(x,y,-z)=-f(x,y,z), \&\\Rightarrow \\iint\_\\Omega f(x,y,z) dv = 0 \\ f(x,y,-z)= f(x,y,z), \&\\Rightarrow \\iint\_\\Omega f(x,y,z)dv = 2 \\iint\_{\\Omega\_1} f(x,y,z)dv \\end{aligned}\\right.\)

被积区域\(\\Omega\)关于\(yOz\)面对称（前后对称），设前侧区域为\(\\Omega\_1\)， \(\\left{ \\begin{aligned}f(-x,y,z)=-f(x,y,z), \&\\Rightarrow \\iint\_\\Omega f(x,y,z) dv = 0 \\ f(-x,y,z)= f(x,y,z), \&\\Rightarrow \\iint\_\\Omega f(x,y,z)dv = 2 \\iint\_{\\Omega\_1} f(x,y,z)dv \\end{aligned}\\right.\)

被积区域\(\\Omega\)关于\(zOx\)面对称（左右对称），设前侧区域为\(\\Omega\_1\)， \(\\left{ \\begin{aligned}f(x,-y,z)=-f(x,y,z), \&\\Rightarrow \\iint\_\\Omega f(x,y,z) dv = 0 \\ f(x,-y,z)= f(x,y,z), \&\\Rightarrow \\iint\_\\Omega f(x,y,z)dv = 2 \\iint\_{\\Omega\_1} f(x,y,z)dv \\end{aligned}\\right.\)

三重积分的中值定理

类似二重积分的中值定理，容易推广到三重积分

三重积分的计算

计算三重积分：在直角坐标系化为三次积分

在直角坐标系中将三重积分化为三次定积分有两种思路：投影法和截平面法

投影法计算三重积分

将空间区域\(\\Omega\)投影到平面闭区域上，如投影到\(xOy\)平面（或者\(yOz\)平面、\(xOz\)平面），对应的投影平面记为\(D\_{xy}\)。

这种情况下，积分区域可表示为： \(\\Omega=\\left{(x, y, z) \\mid z\_{1}(x, y) \\leqslant z \\leqslant z\_{2}(x, y),(x, y) \\in D\_{x y}\\right}\)

先将\(f(x,y,z)\)看作z的函数（x，y先当作常数），先计算在z轴的积分，然后计算在投影区域上的二重积分，即： \(\\iint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} v=\\iint\_{D\_{y}}\\left\[\\int\_{z\_{1}(x, y)}^{z\_{2}\\left(x\_{y}, y\\right)} f(x, y, z) \\mathrm{d} z\\right\] \\mathrm{d} \\sigma\)

其中二重积分也可以写成二次积分，最终化为三次积分： \(\\iiint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} v=\\int\_{a}^{b} \\mathrm{d} x \\int\_{y\_{1}(x)}^{y\_{2}(x)} \\mathrm{d} y \\int\_{z\_{1}(x, y)}^{z\_{2}(x, y)} f(x, y, z) \\mathrm{d} z\)

截平面法计算三重积分

如果（以竖坐标为例）在竖坐标为z的位置，以平面将积分区域\(\\Omega\)截开，则可以根据积分区域边界条件写出截面区域\(D\_z\)。

空间区域可以表示为： \(\\Omega=\\left{(x, y, z) \\mid(x, y) \\in D\_{z}, c\_{1} \\leqslant z \\leqslant c\_{2}\\right}\)

我们可以先把z看作定值，计算在截面区域\(D\_z\)上的二重积分，然后z轴积分，即： \(\\iiint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} v=\\int\_{c\_{1}}^{c\_{2}} \\mathrm{d} z \\iint\_{D} f(x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\)

其中二重积分也可以写成二次积分，最终化为三次积分。

计算三重积分：直角坐标系转换为柱坐标系，在柱坐标系化为三次积分

直角坐标系与柱坐标系的转换

在柱坐标系中，按极向、角向、竖轴向，将积分区域\(\\Omega\)划分为许多小闭区域除，了含$ \Omega $的边界点 的一些不规则小闭区域外, 这种小闭区域都是柱体.

考虑由 \(\\rho, \\theta\) 和 \(z\) 各取得微小增量 $d \rho, d\theta $和 $dz $所成的柱体的体积。这个体积等于高与底面 积的乘积. 现在高为 dz、底面积在不计高阶无穷小时为 \(\\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta\) (即极坐标系中的面积元素)，于是得柱坐标系的体积元素\(\\mathrm{d} v=\\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta \\mathrm{d} z\)

点在直角坐标系和柱坐标系的坐标关系为： \(\\left{\\begin{array}{l}x=\\rho \\cos \\theta \\ y=\\rho \\sin \\theta \\ z=z\\end{array}\\right.\)

直角坐标系中的三重积分化为柱坐标系中的三重积分为：

\(\\iiint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z=\\iiint\_{\\Omega} F(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta, z) \\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta \\mathrm{d} z=\\iiint\_{\\Omega} F(\\rho, \\theta, z) \\rho \\mathrm{d} \\rho \\mathrm{d} \\theta \\mathrm{d} z\)

其中\(F(\\rho, \\theta, z)=f(\\rho \\cos \\theta, \\rho \\sin \\theta, z)\)

柱坐标系中投影法或截面法化为三次积分

然后类比直角坐标系中的方法，用投影法或截面法（可能按柱面截取）将三重积分化为三次积分。

计算三重积分：直角坐标系转换为球坐标系，在球坐标系化为三次积分

直角坐标系与球坐标系的转换

点的坐标在直角坐标系和球坐标系的关系为： \(\\left{\\begin{array}{l}x=O P \\cos \\theta=r \\sin \\varphi \\cos \\theta \\ y=O P \\sin \\theta=r \\sin \\varphi \\sin \\theta \\ z=r \\cos \\varphi\\end{array}\\right.\)

按球坐标系径向和两个角向，将积分区域\(\\Omega\)化为许多小闭区域，把积分区域 \(\\Omega\) 分成许多小闭区域.

考虑由 r, $\varphi $ 和 \(\\theta\)各取得微小增量 $dr, d\varphi $和 $d\theta $所成的六面体的体积。 不计高阶无穷小,可把这个六面体看做长方体,其经线方向的长为 \(rd\\varphi\),纬线方向的宽为\(r \\sin\\varphi d\\theta\), 向径方向的高为 dr, 于是得球坐标系的体积元素\(\\mathrm{d} v=r^{2} \\sin \\varphi \\mathrm{d} r \\mathrm{d} \\varphi \\mathrm{d} \\theta\)

于是得到三重积分变量从直角坐标系转换到球坐标系的公式： \(\\iiint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z=\\iiint\_{\\Omega} F(r, \\varphi, \\theta) r^{2} \\sin \\varphi \\mathrm{d} r \\mathrm{d} \\varphi \\mathrm{d} \\theta\)

球坐标系中投影法或截面法化为三次积分

然后类比直角坐标系中的方法，用投影法或截面法（可能按球面截取）将三重积分化为三次积分。

二重积分、三重积分的计算流程

综上，可以归纳二重积分、三重积分的计算流程： 1）作图，明确积分区域与边界。判断用哪种坐标比较简单 2）注意奇偶性，对称性 3）在对应的坐标系中，化为多次积分

重积分的应用

主要是定积分中元素法的推广。

应用过程中，如果变换坐标系，可以使积分区域的表达式更简单，被积函数更简单，可以考虑变换坐标系。

几何应用

曲顶柱体的体积	二重积分
曲面面积的计算	二重积分	投影的到\(xOy\)面计算：（也可投影到其他面） \(A=\\iint\_{D} \\sqrt{1+f\_{x}^{2}(x, y)+f\_{y}^{2}(x, y)} \\mathrm{d} \\sigma = \\iint\_{D} \\sqrt{1+\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\\right)^{2}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\)

曲面面积的计算

设区域D是被积曲面在\(xOy\)面的投影。将投影区域D划分成许多小闭区域\(d \\sigma\)，每个小闭区域对应曲面上的一小块，而这一小块的面积近似于从小块上找个切平面对应的面积\(dA\)。

根据几何，有如下关系： \(\\mathrm{d} A=\\frac{\\mathrm{d} \\sigma}{\\cos \\gamma}\) 又有： \(\\cos \\gamma=\\frac{1}{\\sqrt{1+f\_{x}^{2}(x, y)+f\_{y}^{2}(x, y)}}\)

由此可以得到曲面的面积元素： \(\\mathrm{d} A=\\sqrt{1+f\_{x}^{2}(x, y)+f\_{y}^{2}(x, y)} \\mathrm{d} \\sigma\)

从而曲面的面积为：（曲面投影到\(xOy\)面作为积分区域计算） \(A=\\iint\_{D} \\sqrt{1+f\_{x}^{2}(x, y)+f\_{y}^{2}(x, y)} \\mathrm{d} \\sigma = \\iint\_{D} \\sqrt{1+\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\\right)^{2}} \\mathrm{d} x \\mathrm{d} y\)

类似的，也可以投影到\(yOz\)平面计算曲面面积： \(A=\\iint\_{D\_{y z}} \\sqrt{1+\\left(\\frac{\\partial x}{\\partial y}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial x}{\\partial z}\\right)^{2}} \\mathrm{d} y \\mathrm{d} z\) 同样，也可以投影到\(xOz\)平面计算曲面面积： \(A=\\iint\_{D\_{\\mathrm{ax}}} \\sqrt{1+\\left(\\frac{\\partial y}{\\partial z}\\right)^{2}+\\left(\\frac{\\partial y}{\\partial x}\\right)^{2}} \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x\)

物理应用

平面薄片的质量	二重积分	\(\\iint\_{D} \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma=\\lim _{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum_{i=1}^{n} \\mu\\left(\\xi\_{i}, \\eta\_{i}\\right) \\Delta \\sigma\_{i}\)
空间物体的质量	三重积分	\(\\iint\_{\\Omega} f(x, y, z) \\mathrm{d} v\)
平面薄片的质心	二重积分	\(\\bar{x}=\\frac{M\_{,}}{M}=\\frac{\\iint\_{D} x \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}{\\iint\_{D} \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}, \\quad y=\\frac{M\_{x}}{M}=\\frac{\\iint\_{D} y \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}{\\iint\_{D} \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}\)
空间物体的质心	三重积分	\(\\bar{x}=\\frac{\\iint\_{\\Omega} x \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}{\\iint\_{\\Omega} \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}, \\quad \\bar{y}=\\frac{\\iint\_{\\Omega} y \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}{\\iint\_{\\Omega} \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}, \\quad \\bar{z}=\\frac{\\iint\_{\\Omega} y \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}{\\iint\_{\\Omega} \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}\)
平面薄片的转动惯量	二重积分	在\(xOy\)面上的一个平面薄板， 对x轴，对y轴的转动惯量为\(I\_{x}=\\sum\_{i=1}^{n} y\_{i}^{2} m\_{i}, \\quad I\_{y}=\\sum\_{i=1}^{n} x\_{i}^{2} m\_{i}\)， 对z轴的转动惯量为\(I\_z=\\sum\_{i=1}^{n} (x\_{i}^{2} + y\_{i}^{2}) m\_{i} = I\_x + I\_y\)
空间物体的转动惯量	三重积分	空间物体的转动惯量（以z轴为转轴）： \(I\_{z}=\\iiint\_{\\Omega}r\_{i}^{2} m\_i \\mathrm{d} m=\\iiint\_{\\Omega}\\left(x^{2}+y^{2}\\right) \\mu(x,y,z) \\mathrm{d} v\)
空间物体对质点的引力	三重积分	考虑一个体积为\(\\Omega\)的物体，对\((x\_0,y\_0,z\_0)\)处单位质点的引力为：\(\\boldsymbol{F} =\\left(\\boldsymbol{F}_{x}, \\boldsymbol{F}_{y}, \\boldsymbol{F}_{z}\\right) \\ =\\left(\\iiint_{\\Omega} \\frac{\\boldsymbol{G} \\boldsymbol{\\rho}(x, y, z)\\left(x-x\_{0}\\right)}{r^{3}} \\mathrm{d} v, \\iint\_{\\Omega} \\frac{G \\boldsymbol{\\rho}(x, y, z)\\left(y-y\_{0}\\right)}{r^{3}} \\mathrm{d} v,\\iiint\_{\\Omega} \\frac{G \\rho(x, y, z)\\left(z-z\_{0}\\right)}{r^{3}} \\mathrm{d} v\\right)\)

质心

由力学知道，质点系的质心坐标为：

\(\\bar{x}=\\frac{M\_{y}}{M}=\\frac{\\sum\_{i=1} m\_{i} x\_{i}}{\\sum\_{i=1}^{n} m\_{i}}, \\quad \\bar{y}=\\frac{M\_{x}}{M}=\\frac{\\sum\_{i=1} m\_{i} y\_{i}}{\\sum\_{i=1}^{n} m\_{i}}\)

由质心的定义，我们可以计算如下：

平面薄片的质心： \(\\bar{x}=\\frac{M\_{,}}{M}=\\frac{\\iint\_{D} x \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}{\\iint\_{D} \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}, \\quad \\bar{y}=\\frac{M\_{x}}{M}=\\frac{\\iint\_{D} y \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}{\\iint\_{D} \\mu(x, y) \\mathrm{d} \\sigma}\)

空间物体的质心： \(\\bar{x}=\\frac{\\iint\_{\\Omega} x \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}{\\iint\_{\\Omega} \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}, \\quad \\bar{y}=\\frac{\\iint\_{\\Omega} y \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}{\\iint\_{\\Omega} \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}, \\quad \\bar{z}=\\frac{\\iint\_{\\Omega} z \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}{\\iint\_{\\Omega} \\mu(x, y, z) \\mathrm{d} v}\)

转动惯量

由力学知道，质点系对于某轴的转动惯量为\(I=\\sum\_{i=1}^{n} r\_{i}^{2} m\_{i}\)，其中\(r\_i\)是各质点到此轴的距离。

平面薄板的转动惯量： 在\(xOy\)面上的一个平面薄板， 对x轴，对y轴的转动惯量为\(I\_{x}=\\sum\_{i=1}^{n} y\_{i}^{2} m\_{i}, \\quad I\_{y}=\\sum\_{i=1}^{n} x\_{i}^{2} m\_{i}\)， 对z轴的转动惯量为\(I\_z=\\sum\_{i=1}^{n} (x\_{i}^{2} + y\_{i}^{2}) m\_{i} = I\_x + I\_y\)

空间物体的转动惯量（以z轴为转轴）： \(I\_{z}=\\iiint\_{\\Omega}r\_{i}^{2} m\_i \\mathrm{d} m=\\iiint\_{\\Omega}\\left(x^{2}+y^{2}\\right) \\mu(x,y,z) \\mathrm{d} v\)

引力

两质点间引力大小为\(F= \\frac{G m\_1 m\_2}{r^2}\) ， 包括方向的矢量式为\(\\overrightarrow{F}= \\frac{G m\_1 m\_2 \\overrightarrow{r}}{r^3}=\\frac{G m\_1 m\_2 \\overrightarrow{e\_r}}{r^2}=\\frac{G m\_1 m\_2 }{r^2} \\cdot (\\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma)=(F\_x, F\_y, F\_z)\)

考虑一个体积为\(\\Omega\)的物体，对\((x\_0,y\_0,z\_0)\)处单位质点的引力为：\(\\begin{aligned} \\boldsymbol{F} \&=\\left(\\boldsymbol{F}_{x}, \\boldsymbol{F}_{y}, \\boldsymbol{F}_{z}\\right) \\ \&=\\left(\\iiint_{\\Omega} \\frac{\\boldsymbol{G} \\boldsymbol{\\rho}(x, y, z)\\left(x-x\_{0}\\right)}{r^{3}} \\mathrm{d} v, \\iint\_{\\Omega} \\frac{G \\boldsymbol{\\rho}(x, y, z)\\left(y-y\_{0}\\right)}{r^{3}} \\mathrm{d} v,\\iiint\_{\\Omega} \\frac{G \\rho(x, y, z)\\left(z-z\_{0}\\right)}{r^{3}} \\mathrm{d} v\\right)\\end{aligned}\)

含参变量的积分

含参变量积分的定义

设 \(f(x, y) \\text { 是矩形 ( 闭区域 }) R=\[a, b\] \\times\[c, d\]\) 血上的连续函数。（这是一个矩形区间，又称直区间）

\(\\varphi(x)=\\int\_{c}^{d} f(x, y) \\mathrm{d} y \\quad(a \\leqslant x \\leqslant b)\)

这个积分的值依赖于取定的 x 值. 当 x 的值改变时,一般说来这个积分的值也跟着改变. 这个积分确定一个定义在[ a,b]上的 x 的函数,x在计算积分的过程中当作常数，通常称作参变量，\(\\varphi (x)\)称作含参变量的积分。

含参变量积分的性质

定理 1 （含参变量积分函数的连续性1） 如果函数 \(f(x, y)\) 在矩形 \(R=\[a, b\] \\times\[c, d\]\) 上连续, 那么由积分\(\\int\_{c}^{d} f(x, y) \\mathrm{d} y\)确定的函数 \(\\varphi(x)\) 在 \(\[a, b\]\) 上也连续.

(用闭区间连续必一致连续，用以计算\(\\Delta \\varphi\)也趋于0，即连续。详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)

定理 2 （连续函数在直区间的积分次序可交换性） 如果函数 \(f(x, y)\) 在矩形 \(R=\[a, b\] \\times\[c, d\]\) 上连续, 那么\(\\int\_{a}^{b}\\left\[\\int\_{c}^{d} f(x, y) \\mathrm{d} y\\right\] \\mathrm{d} x=\\int\_{c}^{d}\\left\[\\int\_{a}^{b} f(x, y) \\mathrm{d} x\\right\] \\mathrm{d} y\) 也可写成\(\\int\_{a}^{b} \\mathrm{d} x \\int\_{c}^{d} f(x, y) \\mathrm{d} y=\\int\_{c}^{d} \\mathrm{d} y \\int\_{a}^{b} f(x, y) \\mathrm{d} x\)

（即函数在直区间连续，则积分次序可交换，这是重积分的性质）

定理 3 （含参变量函数的可微性1） 如果函数 \(f(x, y)\) 及其偏导数 \(f\_{x}(x, y)\) 都在矩形 \(R=\[a, b\] \\times\[c, d\]\) 上连续, 那么由积分\(\\int\_{c}^{d} f(x, y) \\mathrm{d} y\)确定的函数 \(\\varphi(x) \\text { 在\[ } a, b\]\) 上可微分, 并且\(\\varphi^{\\prime}(x)=\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x} \\int\_{c}^{d} f(x, y) \\mathrm{d} y=\\int\_{c}^{d} f\_{x}(x, y) \\mathrm{d} y\)

(用导数的定义、一致连续性、拉格朗日中值定理证明。详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)

定理 4 （含参变量积分函数的连续性2） 如果函数 \(f(x, y)\) 在矩形 \(R=\[a, b\] \\times\[c, d\]\) 上连续, 函数 \(\\alpha(x)\) 与 \(\\beta(x)\) 在区间 \(\[a, b\]\) 上连续 \(,\) 且\(c \\leqslant \\alpha(x) \\leqslant d, c \\leqslant \\beta(x) \\leqslant d \\quad(a \\leqslant x \\leqslant b)\), 那么由\(\\Phi(x)=\\int\_{\\alpha(x)}^{\\beta(x)} f(x, y) \\mathrm{d} y\)确定的函数\(\\Phi(x)\)也连续。

（拆项用定义证，详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)

定理 5 （含参变量函数的可微性2） 如果函数 \(f(x, y)\) 及其偏导数 \(f\_{x}(x, y)\) 都在矩形 \(R=\[a, b\] \\times\[c, d\]\)上连续, 函数 \(\\alpha(x)\) 与 \(\\beta(x)\) 都在区间 \(\[a, b\]\) 上可微, 且\(c \\leqslant \\alpha(x) \\leqslant d, c \\leqslant \\beta(x) \\leqslant d \\quad(a \\leqslant x \\leqslant b)\), 那么由\(\\Phi(x)=\\int\_{\\alpha(x)}^{\\beta(x)} f(x, y) \\mathrm{d} y\)确定的函数\(\\Phi(x)\)也在 \(\[a, b\]\) 上可微 \(,\) 且函数的微分为：（莱布尼兹公式） \(\\begin{aligned} \\Phi^{\\prime}(x) \&=\\frac{\\mathrm{d}}{\\mathrm{d} x} \\int\_{\\alpha(x)}^{\\beta(x)} f(x, y) \\mathrm{d} y \\ \&=\\int\_{\\alpha(x)}^{\\beta(x)} f\_{x}(x, y) \\mathrm{d} y+f\[x, \\beta(x)\] \\beta^{\\prime}(x)-f\[x, \\alpha(x)\] \\alpha^{\\prime}(x) \\end{aligned}\)

（拆项用定义证，详细证明见 高等数学 同济第七版（下）)