高等数学-多元微积分-曲线积分与曲面积分习题

对弧长的曲线积分

平面上对弧长的曲线积分

定积分法计算曲线积分

例1

例2

本题也可以利用奇偶对称性消去积分中的\(2xy\)项，并把曲线表示为$x=\cos t , y = \sin t $的参数方程来做。

例3

奇偶性对称性计算曲线积分

例1

替换法计算曲线积分

例1

空间中对弧长的曲线积分

奇偶性对称性计算曲线积分

例1

对坐标的曲线积分

平面上对坐标的曲线积分

定积分法计算曲线积分

例1

例2

例3

此题也可以用（格林公式法）将平面上的曲线积分转换为二重积分的方法来做。

例4

例5

此题也可通过直观判断\(\\left(x y^{2}+y\\right) d x+\\left(x^{2} y+x\\right) d y = d(\\frac{1}{2} x^2 y^2 +xy)\)，能写成全微分形式，得到该曲线积分与路径无关的结论，然后利用与路径无关的曲线积分计算方式来做。

例6

例7

平面上曲线积分转换为二重积分（格林公式法）

例1

例2

例3

例4

例5

例6

例7

例8

例9

例10

计算与积分路径无关的曲线积分

例1

例2

例3

例4

例5

例6

对面积的曲面积分

转换为二重积分法

例1

例2

例3

例4

提示：该平面写成截距式，易得在3个坐标轴上的截距分别为\(1,-\\frac{1}{2} ,1\)

例5

例6

例7

例8

例9

例10

例11

奇偶性对称性计算曲面积分

例1

提示：\(\\iint\_{\\Sigma} z \\mathrm{d} S = \\iint\_{\\Sigma} \\sqrt{1-x^2-y^2} \\mathrm{d} S= 4 \\iint\_{\\Sigma\_1} \\sqrt{1-x^2-y^2} \\mathrm{d} S = 4 \\iint\_{\\Sigma\_1} z \\mathrm{d} S = 4 \\iint\_{\\Sigma\_1} x \\mathrm{d} S\)

对坐标的曲面积分

转化为二重积分法

例1

例2

注意：\(\\iint\_{\\Sigma} y^{2} \\mathrm{d} z \\mathrm{d} x = \\iint\_{\\Sigma} y^{2} \\cos\\beta dS\)，显然\(\\cos\\beta\)是关于xOz是奇函数，可看出对称性

例3

转换为三重积分法（高斯公式/空间内域与界的关系）

例1

例2

例3

例4 注意哈

例5

例6

例7

例8 嘿，脑细胞要死光了

例9

例10

例11

例12

例13

例14

例15

转换为对面积的曲面积分

例1

物理应用

散度

例1

实际上\(\\operatorname{div}(\\operatorname{grad(f)})=\\nabla \\cdot(\\nabla f)= \\Delta f = \\frac{\\partial^2 f}{\\partial x^2}+\\frac{\\partial^2 f}{\\partial y^2}+\\frac{\\partial^2 f}{\\partial z^2}\)，一般称为拉普拉斯算子

旋度

例1