高等数学-多元微分学

极限、连续性、偏导数、全微分定义及性质

多元函数是有多个自由变量的函数，在其上可以定义距离的概念。可以考虑函数的极限、连续性、可导可微性。

多元函数的极限

以二元函数为例，\(\\lim _{x \\rightarrow x_{0} \\atop y \\rightarrow y\_{0}} f(x, y)=A \\Leftrightarrow \\forall \\varepsilon\>0, \\exists \\delta\>0,\) 当 \(0\<\\sqrt{\\left(x-x\_{0}\\right)^{2}+\\left(y-y\_{0}\\right)^{2}}\<\\delta\) 时，恒有 \(\\quad|f(x, y)-A|\<\\varepsilon\)

极限性质

	一元函数	多元函数
定理	极限\(\\lim _{x \\rightarrow x_{0}} f(x)=A\) \(\\Leftrightarrow\) \(f\\left(x\_{0}^{-}\\right)=f\\left(x\_{0}^{+}\\right)=A\)	极限\(\\lim _{x \\rightarrow x_{0} \\atop y \\rightarrow y\_{0}} f(x, y)=A\)存在，\(\\Rightarrow\) 从各路径趋于\((x\_0,y\_0)\)的函数值\(f(x,y)\)都等于A； 逆否命题也成立：若存在两条路径取得的极限值不同，则极限不存在	不相同
极限运算法则	有理运算、复合运算	有理运算、复合运算	相同
性质	保号性、夹逼性、局部有界性、极限和无穷小的关系	保号性、夹逼性、局部有界性、极限和无穷小的关系	相同

多元函数证明极限存在，只能通过极限定义证明。多元函数证明极限不存在，可选两条路径证明趋于\((x\_0, y\_0)\)时函数值\(f(x,y)\)不相等。

多元函数的连续性

简言之，函数值等于极限值，即连续。

	一元函数	多元函数
连续性的定义	函数\(f(x)\)在\(x\_0\)的邻域内有定义(在定义域内)，且\(\\lim _{x \\rightarrow x_{0}} f(x)=f\\left(x\_{0}\\right)\)，则函数\(f(x)\)在\(x\_0\)连续	函数\(f(x,y)\)在\((x\_0,y\_0)\)的邻域内有定义(在定义域内)，且\(\\lim _{x \\rightarrow x_{0} \\atop y \\rightarrow y\_{0}} f(x, y)=A\)，则函数\(f(x,y)\)在\(x\_0\)连续
连续函数定理（性质）	有界性定理、最值定理、介值定理	有界性定理、最值定理、介值定理
连续函数的和差积商与复合（性质）	连续函数的和差积商均是连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数	连续函数的和差积商均是连续函数，连续函数的复合函数仍为连续函数
初等函数的连续性	一元初等函数在其定义域内处处连续	多元初等函数在其定义域内处处连续

偏导数

一元函数研究函数的变化率时，引入了导数概念。研究多元函数的变化率时，先从一个变量看起。即首先考虑多元函数沿某一自变量的变化率。

偏导数的定义

以多元函数的某一变元做看作变量，而其他变元暂时看作常量，用一元微分学方式求导，得到的就是偏导数。

以二元函数为例，设 \(z=f(x, y)\) 在 \(P\_{0}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某邻域内有定义，给自变量 \(x\) 以增量 \(\\Delta x,\) 而 \(y\) 保持不变(即 \(\\left.y=y\_{0}\\right),\) 相应地得到函数关于 \(x\) 的偏增量\(\\Delta\_{x} z=f\\left(x\_{0}+\\Delta x, y\_{0}\\right)-f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 如果极限\(\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta_{x} z}{\\Delta x}=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(x_{0}+\\Delta x, y\_{0}\\right)-f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\Delta x}\)存在，则该被极限值就称为 \(z=f(x, y)\) 在 \(P\_{0}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 改对变量 \(x\) 的偏导数,记为\(\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\mid\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right), \\frac{\\partial f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\partial x}\) 或 \(f\_{x}^{\\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\)

即\(f\_{x}^{\\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(x_{0}+\\Delta x, y\_{0}\\right)-f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\Delta x}\)

同理\(f^{\\prime}_{y}\\left(x_{0}, y\_{0}\\right)=\\lim _{\\Delta y \\rightarrow 0} \\frac{f\\left(x_{0}, y\_{0}+\\Delta y\\right)-f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\Delta y}\)

对于一元函数来说，\(\\frac{dy}{dx}\)可以看作函数微分\(dy\)与自变量微分\(dx\)的商。而偏微分的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商。（如高等数学-多元微分学习题.md#偏微分的计算#例5）

偏导数的几何意义

沿特定轴向的斜率

高阶偏导数

二阶偏导数为例：

\(\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\\right)=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial x^{2}}=f\_{x x}(x, y), \\quad \\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\\right)=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial x \\partial y}=f\_{x y}(x, y)\) \(\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\\right)=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial y \\partial x}=f\_{y x}(x, y), \\quad \\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\\right)=\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial y^{2}}=f\_{y}(x, y)\)

定理 \(\\quad\) 如果函数 \(z=f(x, y)\) 的两个二阶混合偏导数 \(\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial y \\partial x}\) 及 \(\\frac{\\partial^{2} z}{\\partial x \\partial y}\) 在区域 \(D\) 内 连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。

偏导数的计算

对于一元函数来说，\(\\frac{dy}{dx}\)可以看作函数微分\(dy\)与自变量微分\(dx\)的商。而偏微分的记号是一个整体记号，不能看作分子分母之商。（如高等数学-多元微分学习题.md#偏微分的计算#例5）

普通多元函数偏导数的计算

由于偏导数只有一个变量在动，其他变量看作常量，按一元函数求微分的方式计算即可。

多元复合函数偏导数的计算

概括起来就是：链式求导法则计算

复合函数\(z=f(u,v)\)连续可偏导, \(u=\\varphi (t), v = \\psi(t)\)

\(\\frac{\\mathrm{d} z}{\\mathrm{d} t}=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} t}+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\frac{\\mathrm{d} v}{\\mathrm{d} t}\)

复合函数\(z=f(u,v)\)连续可偏导,$ u=\varphi (x,y), v = \psi(x,y)$

\(\\frac{\\partial z}{\\partial x}=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\partial u}{\\partial x}+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\frac{\\partial v}{\\partial x}\) \(\\frac{\\partial z}{\\partial y}=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\partial u}{\\partial y}+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\frac{\\partial v}{\\partial y}\)

复合函数\(z=f(u,v)\)连续可偏导,$ u=\varphi (x,y), v = \psi(y)$

\(\\frac{\\partial z}{\\partial x}=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\partial u}{\\partial x}\) \(\\frac{\\partial z}{\\partial y}=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\partial u}{\\partial y}+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\frac{\\mathrm{d} v}{\\mathrm{d} y}\)

在坐标变换中的应用

算子（对函数的操作）在不同坐标系中的转换

拉普拉斯算子在直角坐标系与柱坐标系中的转换

参考：拉普拉斯算子的百度百科

高数同济第七版P82的证明：

还有csdn上博主的证明（与高数同济7的证明类似）：https://blog.csdn.net/u013102281/article/details/70800631

隐函数偏导数的计算

对于隐函数方程组，设有m=a+b个变量。 约束条件（函数）个数 = 受约束的变量的个数 =隐含的因变量个数，设为a； 不受约束的变量的个数 = 自变量个数 ，设为b； 则由隐函数方程组，可确定 a个b元函数。 从隐函数方程组中选定b个变量做自变量，剩余的a个变量做因变量，即a个函数。

方法1：复合函数求导法求隐函数偏导

求对方程组求偏导时，记住哪些变量是自变量，哪些变量是函数，按复合函数求偏导方法求解即可。

方法2：公式法求隐函数偏导

其实就是将复合函数求导法求隐函数的偏导数的过程，总结成了公式。

隐函数存在定理 1(两个变量的隐函数求偏导) 设函数 \(F(x, y)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某一邻域内具有连续 偏导数,且隐函数\(F\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0, F\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\neq 0\)， 则方程 \(F(x, y)=0\) 在点 \(\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数 \(y=f(x),\) 它满足条件 \(y\_{0}=f\\left(x\_{0}\\right)\)， 并有\(\\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=-\\frac{F\_{x}}{F\_y}\) （可以用多元复合函数求导法简单推导）

如果函数 \(F(x, y)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某一邻域内具有连续 二阶偏导数,可利用复合函数求导法，再求一次导: \(\\begin{aligned} \\frac{\\mathrm{d}^{2} y}{\\mathrm{d} x^{2}} \&=\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(-\\frac{F\_{x}}{F\_{y}}\\right)+\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(-\\frac{F\_{x}}{F\_{y}}\\right) \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\ \&=-\\frac{F\_{x x} F\_{y}-F\_{y x} F\_{x}}{F^{2}}-\\frac{F\_{x y} F,-F\_{yy} F\_{x}}{F\_{y}^{2}}\\left(-\\frac{F\_{x}}{F}\\right) \\ \&=-\\frac{F\_{xx} F\_{y}^{2}-2 F\_{x y} F\_{x} F\_{y}+F\_{yy} F\_{x}^{2}}{F\_{y}^{3}}\\end{aligned}\)

隐函数存在定理 2 （三个变量的隐函数求偏导）设函数 \(F(x, y, z)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}, z\_{0}\\right)\) 的某一邻域具有连续偏导数，且隐函数 \(F\\left(x\_{0}, y\_{0}, z\_{0}\\right)=0, F\_{z}\\left(x\_{0}, y\_{0}, z\_{0}\\right) \\neq 0,\) 则方程 \(F(x, y, z)=0\) 在 点\(\\left(x\_{0}, y\_{0}, z\_{0}\\right)\) 的某一邻域 内恒能唯一确 定一个连 续且具有连 续偏导数的函数 \(z=\) \(f(x, y),\) 它满足条件 \(z\_{0}=f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right),\) 并有 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x}=-\\frac{F\_{x}}{F\_{z}}, \\frac{\\partial z}{\\partial y}=-\\frac{F\_{y}}{F\_{z}}\)

隐函数存在定理 3 （4个变量2个约束的方程组求偏导）\(\\quad\) 设 \(F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}, u\_{0}, v\_{0}\\right)\) 的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数，又 \(F\\left(x\_{0}, y\_{0}, u\_{0}, v\_{0}\\right)=0, G\\left(x\_{0}, y\_{0}, u\_{0}, v\_{0}\\right)=0\)， 且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比 ( Jacobi) 式）\(J=\\frac{\\partial(F, G)}{\\partial(u, v)}=\\left|\\begin{array}{ll} \\frac{\\partial F}{\\partial u} \& \\frac{\\partial F}{\\partial v} \\frac{\\partial G}{\\partial u} \& \\frac{\\partial G}{\\partial v} \\end{array}\\right|\)在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}, u\_{0}, v\_{0}\\right)\) 不等于零, 则方程 组 \(F(x, y, u, v)=0, G(x, y, u, v)=0\) 在\(\\left(x\_{0}, y\_{0}, u\_{0}, v\_{0}\\right)\) 的某一邻域 内恒能唯一确定一组 连续且具有连 续偏导数的函数\(u=u(x, y), v=v(x, y),\) 它们满足条件 \(u\_{0}=u\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right), v\_{0}=v\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right),\) 并有： \(\\frac{\\partial u}{\\partial x}=-\\frac{1}{J} \\frac{\\partial(F, G)}{\\partial(x, v)}=-\\frac{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{x} \& F\_{v} \\ G\_{x} \& G\_{v}\\end{array}\\right|}{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{u} \& F\_{v} \\ G\_{u} \& G\_{v}\\end{array}\\right|}\) \(\\frac{\\partial v}{\\partial x}=-\\frac{1}{J} \\frac{\\partial(F, G)}{\\partial(u, x)}=-\\frac{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{u} \& F\_{x} \\ G\_{u} \& G\_{x}\\end{array}\\right|}{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{u} \& F\_{v} \\ G\_{u} \& G\_{v}\\end{array}\\right|}\) \(\\frac{\\partial u}{\\partial y}=-\\frac{1}{J} \\frac{\\partial(F, G)}{\\partial(y, v)}=-\\frac{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{y} \& F\_{v} \\ G\_{y} \& G\_{v}\\end{array}\\right|}{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{u} \& F\_{v} \\ G\_{u} \& G\_{v}\\end{array}\\right|}\) \(\\frac{\\partial v}{\\partial y}=-\\frac{1}{J} \\frac{\\partial(F, G)}{\\partial(u, y)}=-\\frac{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{u} \& F\_{y} \\ G\_{u} \& G\_{y}\\end{array}\\right|}{\\left|\\begin{array}{ll}F\_{u} \& F\_{v} \\ G\_{u} \& G\_{v}\\end{array}\\right|}\) (以上是对方程组各自由变量求偏导，用线性代数的方法解方程组得来的。)

	一阶偏导数	二阶偏导数
2个变量的隐函数（1个约束）求偏导	\(\\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=-\\frac{F\_{x}}{F\_y}\)	\(\\begin{aligned} \\frac{\\mathrm{d}^{2} y}{\\mathrm{d} x^{2}} \&=\\frac{\\partial}{\\partial x}\\left(-\\frac{F\_{x}}{F\_{y}}\\right)+\\frac{\\partial}{\\partial y}\\left(-\\frac{F\_{x}}{F\_{y}}\\right) \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x} \\ \&=-\\frac{F\_{xx} F\_{y}^{2}-2 F\_{x y} F\_{x} F\_{y}+F\_{yy} F\_{x}^{2}}{F\_{y}^{3}}\\end{aligned}\)
3个变量的隐函数（1个约束）求偏导	\(\\frac{\\partial z}{\\partial x}=-\\frac{F\_{x}}{F\_{z}}, \\frac{\\partial z}{\\partial y}=-\\frac{F\_{y}}{F\_{z}}\)
4个变量2个约束的方程组求偏导	方程组的行列式解

全微分

设函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某邻域内有定义，给 \(x, y\) 在 \(x\_{0}, y\_{0}\) 处分别以增量 \(\\Delta x\)，\(\\Delta y,\) 相应地得到函数的全增量 \(\\Delta z,\) 若全增量可表示为\(\\Delta z=A \\Delta x+B \\Delta y+o(\\rho)\)，其中 \(A, B\) 与 \(\\Delta x, \\Delta y\) 无关, \(\\rho=\\sqrt{(\\Delta x)^{2}+(\\Delta y)^{2}}, o(\\rho)\) 为 \(\\Delta x \\rightarrow 0, \\Delta y \\rightarrow 0\) 时 \(\\rho\) 的高阶无穷小,则称函数 \(f(x, y)\) 在 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 可微， \(A \\Delta x+B \\Delta y\) 称为 \(f(x, y)\) 在 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 处的全微分 记为\(\\left.\\mathrm{d} z\\right|_{x_{0}, y\_{0}}=\\mathrm{d} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=A \\Delta x+B \\Delta y\)

可微的定义	一元函数	多元函数（二元函数为例）
前提	如果函数y=f（x）在点x处的某邻域内有定义，	设函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某邻域内有定义，
全增量	\(\\Delta y\)是函数的增量： \(\\Delta y = f(x\_0 + \\Delta x) -f(x\_0)\)	给 \(x, y\) 在 \(x\_{0}, y\_{0}\) 处分别以增量 \(\\Delta x\)，\(\\Delta y,\) 相应地得到函数的全增量 \(\\Delta z\) ： \(\\Delta z = f(x\_0 + \\Delta x, y\_0 + \\Delta y) -f(x\_0, y\_0)\)
可微	若有\(\\Delta y=A \\Delta x+o(\\Delta x)\)， 称y=f(x)在x处可微， 称\(d y=d f(x)=A \\Delta x\)为f(x)在x处的微分。	若全增量可表示为\(\\Delta z=A \\Delta x+B \\Delta y+o(\\rho)\)， 其中 \(A, B\) 与 \(\\Delta x, \\Delta y\) 无关, \(\\rho=\\sqrt{(\\Delta x)^{2}+(\\Delta y)^{2}}, o(\\rho)\) 为 \(\\Delta x \\rightarrow 0, \\Delta y \\rightarrow 0\) 时 \(\\rho\) 的高阶无穷小, 则称函数 \(f(x, y)\) 在 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 可微，
（全）微分	又\(f^{\\prime}(x)=\\lim _{\\Delta x \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta y}{\\Delta x}=A\)，记\(d x=\\Delta x\)，则微分又可以写成**\(\\mathrm{d} y=f^{\\prime}(x) \\mathrm{d} x\)**	\(A \\Delta x+B \\Delta y\) 称为 \(f(x, y)\) 在 \(P\\left(x_{0}, y\_{0}\\right)\) 处的全微分，记为\(\\left.\\mathrm{d} z\\right|_{x_{0}, y\_{0}}=\\mathrm{d} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=A \\Delta x+B \\Delta y\) \(= f\_x^\\prime(x\_0,y\_0)dx +f\_y^\\prime(x\_0,y\_0)dy\)

可微与连续、可导的关系	一元函数	多元函数
可微与连续性的关系	可微\(\\Rightarrow\)连续	可微\(\\Rightarrow\)连续
可微与可导的关系	可微\(\\Leftrightarrow\) 可导	可微\(\\Rightarrow\) 可偏导
可微的充分条件	与可导互为充要条件	有连续偏导数（各偏导数都连续）\(\\Rightarrow\)可微

可用多元函数连续的定义证明可微必连续（可微\(\\Rightarrow\) 连续）

定理 (可微的必要条件) 如果函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \((x, y)\) 可微分,那么该函数在点\((x, y)\) 的偏导数 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\) 与 \(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\) 必定存在 \(,\) 且函数 \(z=f(x, y)\) 在点 \((x, y)\) 的全微分为\(\\mathrm{d} z=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\Delta x+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\Delta y\) （可微\(\\Rightarrow\) 可偏导）

注意，（以二元函数为例）某函数的各个偏导数 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x}\) 与 \(\\frac{\\partial z}{\\partial y}\) 都存在，函数的微分不一定能写成\(\\mathrm{d} z=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\Delta x+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\Delta y\)。因为不保证剩余部分是广义距离\(\\rho\)的高阶无穷小。（同济第七版P73有举例说明）

定理 (可微的充分条件) 如果函数 \(z=f(x, y)\) 的偏导数 \(\\frac{\\partial z}{\\partial x}, \\frac{\\partial z}{\\partial y}\) 在点 \((x, y)\) 连续，那么函数在该点可微分。(连续可偏导\(\\Rightarrow\) 可微)

全微分形式不变性

设函数 \(z=f(u, v)\) 具有连续偏导数,则有全微分\(\\mathrm{d} z=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\mathrm{d} u+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\mathrm{d} v\)， 又\(u=\\varphi(x, y), v=\\psi(x, y)\)也又连续的偏导数， 则复合函数\(z=f\[\\varphi(x, y), \\psi(x, y)\]\)的全微分为\(\\mathrm{d} z=\\frac{\\partial z}{\\partial x} \\mathrm{d} x+\\frac{\\partial z}{\\partial y} \\mathrm{d} y\)， 即\(\\begin{aligned} \\mathrm{d} z \&=\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\partial u}{\\partial x}+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\frac{\\partial v}{\\partial x}\\right) \\mathrm{d} x+\\left(\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\frac{\\partial u}{\\partial y}+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\frac{\\partial v}{\\partial y}\\right) \\mathrm{d} y \\ \&=\\frac{\\partial z}{\\partial u}\\left(\\frac{\\partial u}{\\partial x} \\mathrm{d} x+\\frac{\\partial u}{\\partial y} \\mathrm{d} y\\right)+\\frac{\\partial z}{\\partial v}\\left(\\frac{\\partial v}{\\partial x} \\mathrm{d} x+\\frac{\\partial v}{\\partial y} \\mathrm{d} y\\right) \\ \&=\\frac{\\partial z}{\\partial u} \\mathrm{d} u+\\frac{\\partial z}{\\partial v} \\mathrm{d} v \\end{aligned}\) 可见，无论是u和v作自变量还是x和y作自变量，函数f的全微分形式是一样的，这个性质叫做全微分形式不变性。

二元函数的泰勒公式

定理 \(\\quad\) 设 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某一邻域内连续且有 \((n+1)\) 阶连续偏导数， \(\\left(x\_{0}+h, y\_{0}+k\\right)\) 为此邻域内任一点 , 则有： \(f\\left(x\_{0}+h, y\_{0}+k\\right)\) \(=f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right) f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\) \(\\frac{1}{2 !}\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{2} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\cdots+\\frac{1}{n !}\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{n} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\) \(\\frac{1}{(n+1) !}\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{n+1} f\\left(x\_{0}+\\theta h, y\_{0}+\\theta k\\right) \\quad(0\<\\theta\<1)\) ，称为带皮亚诺余项的二元函数泰勒公式。其中记号 \(\\begin{array}{l} \\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right) f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\text { 表示 } h f\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+k f\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{2} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\text { 表示} h^{2} f\_{x x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+2 h k f\_{x y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+k^{2} f\_{y y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\end{array}\) 一般 地,记号\(\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{m} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\text { 表示 }\\left. \\sum\_{p=0}^{m} C\_{m}^{p} h^{p} k^{m-p} \\frac{\\partial^{m} f}{\\partial x^{p} \\partial y^{m-p}}\\right|_{\\left(x_{0} \\cdot y\_{0}\\right)}\)

相同情况下，也可以写成带拉格朗日余项的二元函数泰勒公式： 设 \(z=f(x, y)\) 在点 \(\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某一邻域内连续且有 \((n+1)\) 阶连续偏导数， \(\\left(x\_{0}+h, y\_{0}+k\\right)\) 为此邻域内任一点 , 则有： \(f\\left(x\_{0}+h, y\_{0}+k\\right)\) \(=f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right) f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\frac{1}{2 !}\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{2} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\cdots+\\frac{1}{n !}\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{n} f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+R\_{n}\) 其中\(R\_{n}=\\frac{1}{(n+1) !}\\left(h \\frac{\\partial}{\\partial x}+k \\frac{\\partial}{\\partial y}\\right)^{n+1} f\\left(x\_{0}+\\theta h, y\_{0}+\\theta k\\right) \\quad(0\<\\theta\<1)\)，是拉格朗日余项。

由二元函数的泰勒公式可知 ,右端的 h 及 \(k\) 的 \(n\) 次多项式部分 近似表 达函数 $f\left(x_{0}+h, y_{0}+k\right) $ 时**,其误差为** $ \mid R_{n} \mid$. 由假设, 函数的各 \((n+1)\) 阶偏导数都 连续,故它们的绝对值在点 \(\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某一邻城内都不超过某一正常数 M. 于是，有下面的误差估计式： \(\\begin{aligned}\\left|R\_{n}\\right| \& \\leqslant \\frac{M}{(n+1) !}(|h|+|k|)^{n+1}=\\frac{M}{(n+1) !} \\rho^{n+1}\\left(\\frac{|h|}{\\rho}+\\frac{|k|}{\\rho}\\right)^{n+1} \\ \& \\leqslant \\frac{M}{(n+1) !}(\\sqrt{2})^{n+1} \\rho^{n+1} \\end{aligned}\) 其中 \(\\rho=\\sqrt{h^{2}+k^{2}}\) 即，误差 \(|R\_{n}|\) 是当 \(\\rho \\rightarrow 0\) 时比 \(\\rho^{n}\) 高阶的无穷小

对于n=0，泰勒公式变成 \(f\\left(x\_{0}+h, y\_{0}+k\\right)\) \(=f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+h f\_{x}\\left(x\_{0}+\\theta h, y\_{0}+\\theta k\\right)+k f\_{y}\\left(x\_{0}+\\theta h, y\_{0}+\\theta k\\right)\) 称为二元函数的拉格朗日中值定理。