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高等数学-多元微分学-代数应用：多元函数的极值与最值
代数应用：多元函数的极值
极值/最值问题，其实就是最优化问题。
注意：极值问题，可能取值的的位置，包括驻点、不可导点、边界点。
无条件极值的定义域为开区域，考虑的是定义域内的驻点是否取极值。 条件极值多了约束，考虑的是有约束的情况下是否取极值。（如果约束正好是对应无条件极值的边界，则条件极值考虑的是边界点是否取极值）
例如求 \(f(x, y)\) 在区域 \(D=\\left{(x, y) \\mid x^{2}+4 y^{2} \\leqslant 4\\right}\) 上的极值/最值。 可以拆成两部分来求： 在区域 \(D\_1=\\left{(x, y) \\mid x^{2}+4 y^{2} \< 4\\right}\) 上找到所有的驻点判断是否取极值（求非条件极值） 在区域 \(D\_2=\\left{(x, y) \\mid x^{2}+4 y^{2} = 4\\right}\) 上，即给定约束\(x^{2}+4 y^{2} = 4\)的条件下，求函数的极值（求条件极值）
实际问题中，很多问题只在开区域内取最值，这个时候，可以不考虑在边界上取极值的情况（不用考虑条件极值）
多元函数极值的概念
| 一元函数 | 多元函数 | |
|---|---|---|
| 极值的定义 | 函数\(f(x)\)在\(x\_0\)的某邻域内有定义，对于该邻域内的任意点x，恒有\(f(x)\>f(x\_0)\),称\(f(x\_0)\)为极小值。若邻域内任意点，恒有\(f(x\<f(x\_0)\),称\(f(x\_0)\)为极大值。 | 设函数 \(z=f(x, y)\) 在 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 点的某邻域内有定义,如果对于该邻城内异于 \(P\\left(x\_{0},y\_{0}\\right)\) 点的任一点 \(Q(x, y),\) 恒有\(f(x, y)\>f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\quad\\left(\\text { 或 } f(x, y)\<f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\\right)\)，则称 \(f\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 为 \(f(x, y)\) 的极小值(或极大值) ， 极大值与极小值统称极值. 使函数 \(z=f(x, y)\) 取极值的自变量 \(x, y\) 的值,称为 \(f(x, y)\) 的极值点. |
| 驻点 | 一阶导数为0的点 | 使各个偏导数都为0的点 |
| 极值的第一充分条件 | 一元函数极值的第一充分条件：函数在某点连续，该点左侧导数大于0，右侧导数小于0，则该点取得极大值； 函数在某点连续，该点左侧导数小于0，右侧导数大于0，则该点取得极小值 |
|
| 极值的第二充分条件 | 一元函数极值的第二充分条件：函数在某点的一阶导数等于0，二阶导数不等于0。若该点的二阶导数大于0，该点取得极小值；若该点的二阶导数小于0，则该点取得极大值 | （多元函数取极值的充分条件）设 \(z=f(x, y)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的某邻域内有连续的二阶 偏导数，且\[\\begin{array}{c}f\_{x}^{\\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0, f\_{y}^{\\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0 \\B^2 – AC = {\\left\[f\_{x y}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\\right\]^{2}-f\_{xx}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\cdot f\_{yy}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\<0}\\end{array}\] 则 \(\\quad P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 是 \(z=f(x, y)\) 的一个初值点. \(1^{\\circ} \\quad\) 若 \(f\_{xx}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\>0\) (或 $ f_{yy}^{\prime \prime}(x_{0}, y_{0})<0$ )为极小值点. \(2^{\\circ} \\quad\) 若 \(f\_{xx}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\<0\) (或 $ f_{yy}^{\prime \prime}(x_{0}, y_{0})>0$ )为极小值点. |
| 极值的必要条件 | \(x=x\_{0}\)处取得极值，且可导 \(\\Rightarrow\) 导数为零：\(f^{\\prime}\\left(x\_{0}\\right)=0\) | （取极值的必要条件） 设 \(z=f(x, y)\) 在点 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 的一阶偏导数存在,且 \(P\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 是 \(z=f(x, y)\) 的极值点，则 \(\\left{\\begin{array}{l}f^{\\prime}_{x}\\left(x_{0}, y\_{0}\\right)=0 \\f\_{y}^{\\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0\\end{array}\\right.\) |
无条件极值，函数中的自变量只受定义域约束的极值问题
条件极值，函数中的自变量除了受定义域约束，还有其他约束条件的极值问题。
注意：极值问题，可能取值的的位置，包括驻点、不可导点、边界点。
无条件极值
注意，无条件极值的定义域为开区域。
注意：极值问题，可能取值的的位置，包括驻点、不可导点、边界点。 无条件极值考虑的是开区域中的驻点是否取极值。实际问题中，一些实际情况可以只可能在开区域内取最值，则不考虑边界点。
若二元函数 \(z=f(x, y)\) 有连续二阶偏导数,则可按以下方法求它的极值： 第一步 : 令 \(f\_{x}^{\\prime}(x, y)=0, f\_{y}^{\\prime}(x, y)=0\) 求得所有驻点. 第二步 :对每个驻点求出二阶偏导数\(A=f\_{x x}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right), B=f\_{x y}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right), C=f\_{x y}^{\\prime \\prime}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 第三步 :利用极值充分条件, 通过 \(A C-B^{2}\) 的正负对驻点 \(\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)\) 作判定.
条件极值
参考：高数同济7版，李永乐复习全书，陈文灯考研复习指南 参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/67327634
条件极值，其实就是有等式约束的最优化问题。
条件极值求法1：消元法
条件极值的求法1：函数中利用约束条件消元，条件极值转化为非条件极值。
条件极值求法2：拉格朗日乘数法
条件极值的求法2：拉格朗日乘数法：利用已知函数和约束条件，构造拉格朗日函数。
拉格朗日乘数法
要找函数 \(z=f(x, y)\) 在附加条件 \(\\varphi(x, y)=0\) 下的可能极 值点,可以先作拉格朗日函数 \(L(x, y)=f(x, y)+\\lambda \\varphi(x, y)\) 其中$ \lambda $为参数. 求其对 x 与 y 的一阶偏导数，并使之为零,然后与方程 \(\\varphi(x, y)=0\) 联 立起来： \(\\left{\\begin{array}{l} f\_{x}(x, y)+\\lambda \\varphi\_{x}(x, y)=0 f\_{y}(x, y)+\\lambda \\varphi\_{y}(x, y)=0 \\varphi(x, y)=0 \\end{array}\\right.\) 由这方程组解出 \(x, y\) 及 \(\\lambda,\) 这样得到的 \((x, y)\) 就是函数 \(f(x, y)\) 在附加条件 \(\\varphi(x, y)=0\) 下的可能极值点.
拉格朗日乘数法的证明
先讨论函数 \(z=f(x, y)\) 在附加条件 \(\\varphi(x, y)=0\) 下取极值的必要条件。 设函数 \(z=f(x, y)\) 在\((x\_0,y\_0)\)取极值，则\(\\varphi(x\_0, y\_0)=0\) 由 \(\\varphi(x, y)=0\) 可以确定一个函数\(y= \\psi(x)\)， 则\(z=f(x, y)= f(x,\\psi(x))\) 则函数 \(z=f(x, y)\) 在\((x\_0,y\_0)\)取极值等价于一元函数\(z= f(x,\\psi(x))\)在\(x= x\_0\)取极值。 由一元可导函数取极值的必要条件得\(\\left.\\frac{\\mathrm{d} z}{\\mathrm{d} x}\\right|_{x=x_{0}}=f\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\left.f\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}\\right|_{x=x_{0}}=0\) 又对 \(\\varphi(x, y)=0\) 运用隐函数求导公式得\(\\left.\\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}\\right|_{x=x_{0}}=-\\frac{\\varphi\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\varphi\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}\)，将其代入上一式， 得\(f\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)-f\_{,}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right) \\frac{\\varphi\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\varphi\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}=0\) 设 \(\\frac{f\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}{\\varphi,\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)}=-\\lambda,\) 上述必要条件就变为 \(\\left{\\begin{array}{l}f\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\lambda \\varphi\_{x}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0 \\ f\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)+\\lambda \\varphi\_{y}\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0 \\ \\varphi\\left(x\_{0}, y\_{0}\\right)=0\\end{array}\\right.\) 若引进辅助函数\(L(x, y)=f(x, y)+\\lambda \\varphi(x, y)\) 则函数 \(z=f(x, y)\) 在附加条件 \(\\varphi(x, y)=0\) 下取极值的必要条件即为 \(\\left{\\begin{array}{l}f\_{x}(x, y)+\\lambda \\varphi\_{x}(x, y)=0 \\ f\_{y}(x, y)+\\lambda \\varphi\_{y}(x, y)=0 \\ \\varphi(x, y)=0\\end{array}\\right.\)
拉格朗日乘数法的推广
这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形. 例如,要求函数￥\(u=f(x, y, z, t)\) 在附加条件\(\\varphi(x, y, z, t)=0, \\quad \\psi(x, y, z, t)=0\) 下的极值,可以先作拉格朗日函数\(L(x, y, z, t)=f(x, y, z, t)+\\lambda \\varphi(x, y, z, t)+\\mu \\psi(x, y, z, t)\) 其中 $\lambda, \mu $均为参数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与两个附加条件联立起来求解 ,这样得出的 \((x, y, z, t)\) 就是函数 \(f(x, y, z, t)\) 在附加条件\(\\varphi(x, y, z, t)=0, \\quad \\psi(x, y, z, t)=0\)的可能极值点。
拉格朗日乘数法的例子
例1 求函数 \(f(x, y)\) 在条件 \(\\varphi(x, y)=0\) 下的极值
先构造拉格朗日函数 \(F(x, y, \\lambda)=f(x, y)+\\lambda \\varphi(x, y)\),然后解方程组 \(\\left{\\begin{array}{l} \\frac{\\partial F}{\\partial x}=\\frac{\\partial f}{\\partial x}+\\lambda \\frac{\\partial \\varphi}{\\partial x}=0 \\frac{\\partial F}{\\partial y}=\\frac{\\partial f}{\\partial y}+\\lambda \\frac{\\partial \\varphi}{\\partial y}=0 \\frac{\\partial F}{\\partial \\lambda}=\\varphi(x, y)=0 \\end{array}\\right.\)
方程组的解，就是可能的极值点
例2 求函数 \(f(x, y, z)\) 在条件 \(\\varphi(x, y, z)=0, \\psi(x, y, z)=0\) 下的极值
构造拉格朗日函数，\(F(x, y, z, \\lambda, \\mu)=f(x, y, z)+\\lambda \\varphi(x, y, z)+\\mu \\psi(x, y, z)\) 对函数求各个方向的偏导=0，联立方程组求解，方程组的解，就是可能的极值点。
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