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1 线性代数-相似矩阵与二次型

线性代数-相似矩阵与二次型

本章主要讨论方阵的特征值与特征向量、方阵的相似对角化和二次型的化简等问题。

其中涉及向量的内积、长度及正交等知识，下面先介绍这些知识。

向量的内积、长度及正交性

向量的内积

向量内积的引入

在（平面/空间）解析几何中，我们曾引进向量的数量积/内积：$x \\cdot y=|x||y| \\cos \\theta$，然后定义了向量间的夹角余弦与夹角（包括垂直的定义），且以互相垂直向量为轴，建立直角坐标系，有（直角坐标系中的）数量积的坐标表示：$\\left(x\_{1}, x\_{2}, x\_{3}\\right) \\cdot\\left(y\_{1}, y\_{2}, y\_{3}\\right)=x\_{1} y\_{1}+x\_{2} y\_{2}+x\_{3} y\_{3}$

n维向量的内积是数量积的一种推广。但n维向量没有3维向量那样直观的长度和夹角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广。并且反过来，利用内积来定义n维向量的长度和夹角。

向量x与y内积的定义

设有n维向量： $\\boldsymbol{x}=\\left(\\begin{array}{c}x\_{1} \\ x\_{2} \\ \\vdots \\ x\_{n}\\end{array}\\right), \\boldsymbol{y}=\\left(\\begin{array}{c}y\_{1} \\ y\_{2} \\ \\vdots \\ y\_{n}\\end{array}\\right)$ 令$\[x, y\]=x\_{1} y\_{1}+x\_{2} y\_{2}+\\cdots+x\_{n} y\_{n}$ 称[ x, y]为向量x与y的内积

当x与y都是列向量时，有$\[x, y\]=x^{T} y$

向量的内积，结果是个实数。

向量内积的基本性质

（其中 x, y, z 为 n 维向量, $\\lambda$ 为实数）

$\[x, y\]=\[y, x\]$

$\[\\lambda x, y\]=\\lambda\[x, y\]$

$\[x+y, z\]=\[x, z\]+\[y, z\]$

当 $\\boldsymbol x=\\boldsymbol 0$ 时 $,\[\\boldsymbol x, \\boldsymbol x\]=0 ;$ 当 $\\boldsymbol x \\neq 0$ 时 $,\[\\boldsymbol x, \\boldsymbol x\]\>0$

施瓦茨不等式$\[x, y\]^{2} \\leqslant\[x, x\]\[y, y\]$

$\[x, y\]^{2} \\leqslant\[x, x\]\[y, y\]$

（证明见百度百科：柯西—施瓦茨不等式：实内积空间的情形）

向量的长度与夹角

向量长度（范数）的定义

$|x|=\\sqrt{\[x, x\]}=\\sqrt{x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+\\cdots+x\_{n}^{2}}$，$| x |$ 称为 n 维向量 $x$ 的长度(或范数).

可见n维向量的长度是通过内积定义的。$| x |=1$时，称x为单位向量。

向量长度的性质

非负性

当 $x \\neq 0$ 时 $,|x|\>0 ;$ 当 $x=0$ 时 $,|x|=0$

齐次性

$|\\lambda x|=|\\lambda||x|$

三角不等式

$|x+y| \\leqslant|x|+|y|$

证明： $|x+y|^{2}=\[x+y, x+y\]=\[x, x\]+2\[x, y\]+\[y, y\]$ 根据施瓦茨不等式有$\[x, y\] \\leqslant \\sqrt{\[x, x\]\[y, y\]}$ 则$|x+y|^{2} \\leqslant\[x, x\]+2 \\sqrt{\[x, x\]\[y, y\]}+\[y, y\]$$=|x|^{2}+2|x||y|+|y|^{2}=(|x|+|y|)^{2}$ 即$|x+y| \\leqslant|x|+|y|$

向量x与y夹角的定义

根据施瓦茨不等式有$|\[x, y\]| \\leqslant|x||y|$ 故$\\left|\\frac{\[x, y\]}{x|| y |}\\right| \\leqslant 1 \\quad($ 当 $|x||y| \\neq 0$ 时 $)$ 则$x \\neq 0, y \\neq 0$ 时，$\\theta=\\arccos\\frac{\[x, y\]}{|x||y|}$称为 n 维向量 x 与 y 的夹角

可见n维向量之间的夹角也是通过内积定义的。

向量的正交与正交矩阵

向量正交与向量组正交

向量x与向量y正交

当$\[ x, y\]=0$ 时, 称向量 x 与 y 正交. 显然,若 $x=0$, 则 $x$ 与任何向量都正交。若$x\\neq 0, y\\neq 0$，两向量正交也可认为是向量的夹角为$\\frac{\\pi}{2}$。

向量组正交

一组两两都正交的非零向量，称为正交向量组。

向量组非零且正交$\\Rightarrow$向量组线性无关

定理：若n维向量$\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{r}$都非零且两两正交$\\Rightarrow$$\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{r}$线性无关

证明

设有$\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{r}$使$\\lambda\_{1} a\_{1}+\\lambda\_{2} a\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{r} a\_{r}=0$ 用$\\boldsymbol{a}_{\\mathbf{1}}^{\\mathrm{T}}$左乘上式，因当 $i \\geqslant 2$ 时, $\\boldsymbol{a}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{a}_{i}=0$，故$\\lambda_{1} a\_{1}^{T} a\_{1}=0$ 因 $a\_{1} \\neq 0,$ 故 $a\_{1}^{\\mathrm{T}} a\_{1}=\\left|a\_{1}\\right|^{2} \\neq 0$。从而必有 $\\lambda\_{1}=0 .$ 类似可证 $\\lambda\_{2}=0, \\cdots, \\lambda\_{r}=0$ 于是向量组 $a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}$ 线性无关.

向量空间的规范正交基

向量组正交的性质：向量组非零且正交$\\Rightarrow$向量组线性无关，那么考虑相反的情况，如何根据一个线性无关的向量组，如何得到一个等价的正交向量组呢？

规范正交基的定义

设n维向量$e\_{1}, e\_{2}, \\cdots, e\_{r}$是向量空间$V\\left(V \\subset \\mathbb{R}^{n}\\right)$的一个基[^1](向量组章节我们介绍过，向量空间的基就是向量空间的极大线性无关组，向量空间中的任意向量都可以用基表示)，如果$e\_{1}, e\_{2}, \\cdots, e\_{r}$两两正交，且都是单位向量，则称$e\_{1}, e\_{2}, \\cdots, e\_{r}$是一个规范正交基。那么V中的任意向量都可以由 $e\_{1}, \\cdots, e\_{r}$表示，表示式为$a=\\lambda\_{1} e\_{1}+\\lambda\_{2} e\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{r} e\_{r}$。

向量在规范正交基中的坐标的计算

为求$a=\\lambda\_{1} e\_{1}+\\lambda\_{2} e\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{r} e\_{r}$的系数 $\\lambda\_{i}(i=1, \\cdots, r),$ 可用 $e\_{i}^{\\mathrm{T}}$ 左乘上式,有$e\_{i}^{\\mathrm{T}} a=\\lambda\_{i} e\_{i}^{\\mathrm{T}} e\_{i}=\\lambda\_{i}$，即$\\lambda\_{i}=e\_{i}^{T} a=\\left\[a, e\_{i}\\right\]$

基（线性无关向量组）的规范正交化

设$a\_{1}, \\cdots, a\_{r}$是向量空间ⅴ的一个基（最大线性无关组），要求ⅴ的一个规范正交基。这也就是要找一组两两正交的单位向量$e\_{1}, \\cdots, e\_{r}$，使$e\_{1}, \\cdots, e\_{r}$与$a\_{1}, \\cdots, a\_{r}$等价。这样的问题，称为把$a\_{1}, \\cdots, a\_{r}$规范正交化。

施密特正交化方法

（按以下流程，得一组相互正交的向量组）： $b\_{1}=a\_{1}$ $b\_{2}=a\_{2}-\\frac{\\left\[b\_{1}, a\_{2}\\right\]}{\\left\[b\_{1}, b\_{1}\\right\]} b\_{1}$
（实际上是设$\\beta\_{2}=\\alpha\_{2}-k \\beta\_{1}$，并满足 $\\beta\_{1} \\perp\\beta\_{2}$ ，即$\\left\\langle\\beta\_{2}, \\beta\_{1}\\right\\rangle=\\left\\langle\\alpha\_{2}, \\beta\_{1}\\right\\rangle-k\\left\\langle\\beta\_{1}, \\beta\_{1}\\right\\rangle=0$，解得k） ……… $b\_{r}=a\_{r}-\\frac{\\left\[b\_{1}, a\_{r}\\right\]}{\\left\[b\_{1}, b\_{1}\\right\]} b\_{1}-\\frac{\\left\[b\_{2}, a\_{r}\\right\]}{\\left\[b\_{2}, b\_{2}\\right\]} b\_{2}-\\cdots-\\frac{\\left\[b\_{r-1}, a\_{r}\\right\]}{\\left\[b\_{r-1}, b\_{r-1}\\right\]} b\_{r-1}$ 容易验证$b\_{1}, \\cdots, b\_{r}$两两相互正交，且$b\_{1}, \\cdots, b\_{r}$与$a\_{1}, \\cdots, a\_{r}$等价。

单位化

将上面得到的正交向量组,都化为单位向量,就求得了一个规范正交基

正交矩阵

正交矩阵定义$\\boldsymbol{A}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{E}$

如果 n 阶矩阵 A 满足$\\boldsymbol{A}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{E}$ $\\left(\\right.$ 即 $\\left.\\boldsymbol{A}^{-1}=\\boldsymbol{A}^{\\mathrm{T}}\\right)$ 那么称 A 为正交矩阵,简称正交阵。

也就是说矩阵的行（或列）向量之间点积等于0（向量正交），行（或列）向量与自身的点积等于1（单位向量），所以正交矩阵又有另一种定义：由行之间两两正交、列之间两两正交的单位向量组成的方阵。

方阵A是正交矩阵$\\Leftrightarrow$$A^T =A^{-1}$

方阵A是正交矩阵$\\Leftrightarrow$A的列向量组（或行向量组）是规范正交基

方阵A是正交矩阵$\\Leftrightarrow$A的列向量（或行向量）都是单位向量，且两两正交$\\Leftrightarrow$A的列向量组（或行向量组）是规范正交基

方阵A是正交矩阵 $\\Leftrightarrow$方阵A用列向量组表示，根据正交矩阵定义有： $\\left(\\begin{array}{c}a\_{1}^{\\mathrm{T}} \\ a\_{2}^{\\mathrm{T}} \\ \\vdots \\ a\_{n}^{\\mathrm{T}}\\end{array}\\right)\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{n}\\right)=E$ $\\Leftrightarrow$$\\left(a\_{i}^{T} a\_{j}\\right)=\\left(\\delta\_{i j}\\right)$ $\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{a}_{i}^{\\mathrm{T}} a_{j}=\\delta\_{i j}=\\left{\\begin{array}{ll}1, \\text { 当 } i=j, \& (i, j=1,2, \\cdots, n) \\ 0, \\text { 当 } i \\neq j\\end{array}\\right.$ $\\Leftrightarrow$A的列向量都是单位向量，且两两正交 $\\Leftrightarrow$列向量组构成向量空间$\\mathbb{R}^{n}$的规范正交基

$\\mathbf{A}^{\\mathrm{T}} \\mathbf{A}=\\mathbf{E}$ 与 $\\mathbf{A} \\mathbf{A}^{\\mathrm{T}}=\\mathbf{E}$等价，所以，上述结论对于A的行向量也成立

若A是正交阵$\\Rightarrow$$A^{-1}=A^{\\mathrm{T}}$也是正交阵,且 $|A|=1$ 或(-1)

若A和B都是正交阵$\\Rightarrow$AB也是正交阵

证明： A、B是正交矩阵，根据定义知道AA’=A’A=E, BB’=B’B=E, 那么(AB)(AB)‘=(AB)(B’A’)=ABB’A’=A(BB’)A=AEA’=AA’=E

若A是正交阵$\\Rightarrow$$|Ax|=|x|$

证明若A是正交阵,则$A^T A = E$ $|Ax|= (Ax)^T (Ax) = x^T A^T A x = x^T x = |x|$

正交变换$y=P x$

若 P 为正交矩阵,则线性变换 $y=P x$ 称为正交变换.

设y = Px 为正交变换，则$|y|=|x|$

证明：$|\\boldsymbol{y}|=\\sqrt{\\boldsymbol{y}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{y}}=\\sqrt{\\boldsymbol{x}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{P}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{P x}}=\\sqrt{\\boldsymbol{x}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{x}}=|\\boldsymbol{x}|$

即正交变换不改变向量的长度（从而保证三角形长度不变）

方阵的特征值与特征向量

$A x=\\lambda x$中A的特征值与特征向量

设 A 是 n 阶矩阵,如果数$\lambda $和 n 维**非零**列向量x 使关系式$A x=\lambda x$成立，(或者$(A-\lambda E)x=0$成立) 那么，这样的数λ称为矩阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量

求特征值与特征向量

根据方阵A，$A x=\\lambda x$求其中的特征值$\\lambda$与对应的特征向量$x$的问题 $\\Leftrightarrow$n个未知数n个方程的齐次线性方程组$(A-\\lambda E) x=0$何时有非零解，以及非零解的求解问题

根据方阵A，$A x=\\lambda x$求其中的特征值$\\lambda$ $\\Leftrightarrow$n个未知数n个方程的齐次线性方程组$(A-\\lambda E) x=0$有非零解 $\\Leftrightarrow$系数矩阵行列式=0，即$|A-\\lambda E| = 0$ $\\Leftrightarrow$求矩阵A的特征方程（特征多项式[^2]等于0）的解,即（下式中$\\lambda$的解）： $\\left|\\begin{array}{cccc}a\_{11}-\\lambda \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22}-\\lambda \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& a\_{n 2} \& \\cdots \& a\_{n n}-\\lambda\\end{array}\\right|=0$

求特征值与特征向量的步骤

根据上面解方程组的思路,给出求特征值与特征向量的一般方法: 1)由$|A-\\lambda E| = 0$求特征值$\\lambda\_i$,共n个(含重根) 2)由$(A-\\lambda\_i E) x=0$求基础解系,用基础解系表示处特征向量的通解

事实上,还可以下面特征值的性质/公式来求解特征值

特征值的性质

n阶方阵A有n个特征值(含重根)

根据求特征值与特征向量的过程(特征多项式$|A-\\lambda E|$是$\\lambda$的n次多项式), 可知n阶方阵A有n个特征值(以重根计算)

特征值之和$\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ 与特征值之积$\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$

设 $n$ 阶矩阵 $\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{i j}\\right)$ 的特征值为 $\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$ $\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ （特征值之和等于方阵的迹） $\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$ （特征值之积等于方阵的行列式）

证明：根据 $f(\\lambda)=\\left(\\lambda-\\lambda\_{1}\\right)\\left(\\lambda-\\lambda\_{2}\\right) \\cdots\\left(\\lambda-\\lambda\_{n}\\right)$ $=k\_0 \\lambda^0 + \\cdots + k\_{n-1} \\lambda^{n-1} + k\_{n} \\lambda^n$ 显然 $k_0 = \lambda_{1} \lambda_{2} \cdots \lambda_{n} $, $k\_{n-1} = -(\\lambda\_1 + \\lambda\_2 + \\cdots + \\lambda\_n)$

又根据 $f(\lambda)=|\lambda E-A|=\left|\begin{array}{cccc}\lambda-a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \ a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & a_{2 n} \ \vdots & \vdots & & \vdots \ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & \lambda-a_{n n}\end{array}\right| $，要想产生n-1次项$k_{n-1}\lambda^{{n-1}$,只能由主对角线的乘积$(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn})$产生，且$k_{n-1}\lambda}{n-1} = -(a_{11}+a_{22} + \cdots + a_{nn})$ 根据行列式的定义：所有不同行不同列的元素乘积组成的项之和， 0次项$k_0 \lambda_0 $是排除掉其他幂次后的项，恰好$k_0 \lambda_0 = |A|$

综上， $\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ （特征值之和等于方阵的迹） $\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$ （特征值之积等于方阵的行列式）

$\\lambda$是A的特征值$\\Rightarrow$$\\lambda^k$是 $A^k$ 的特征值

即$A x=\\lambda x,x\\neq 0$$\\Rightarrow$$A^k x=\\lambda^k x,x\\neq 0$

$\\lambda$是A的特征值$\\Rightarrow$$\\lambda+k$是 $A+kE$ 的特征值

即$A x=\\lambda x,x\\neq 0$$\\Rightarrow$$(A+kE) x=(\\lambda+k) x,x\\neq 0$

$\\lambda$是A的特征值$\\Rightarrow$$\\frac{1}{\\lambda}$是$A^{-1}$的特征值

即$A x=\\lambda x,x\\neq 0$$\\Rightarrow$$A^{-1} x=\\frac{1}{\\lambda} x,x\\neq 0$

推论:A可逆$\\Rightarrow$特征值非0

$\\lambda$是A的特征值$\\Rightarrow$$\\frac{|A|}{\\lambda}$是$A^{\*}$的特征值

即$A x=\\lambda x,x\\neq 0$$\\Rightarrow$$A^{\*} x=\\frac{|A|}{\\lambda} x,x\\neq 0$

$\\lambda$是A的特征值$\\Rightarrow$特征值多项式$\\varphi(\\lambda)$是对应矩阵多项式$\\varphi(\\boldsymbol{A})$的特征值

设 $\\lambda$ 是方阵 A 的特征值,

$\\lambda^{2}$ 是 $A^2$的特征值, $\\lambda^k$是 $A^k$ 的特征值

$\\frac{1}{\\lambda}$ 是 $\\boldsymbol{A}^{-1}$ 的特征值 (当 A 可逆时)

推论:当A可逆时,特征值不为0

$\\varphi(\\lambda)=a\_{0}+a\_{1} \\lambda+\\cdots+a\_{m} \\lambda^{m}$是 $\\varphi(\\boldsymbol{A})=a\_{0} \\boldsymbol{E}$$+a\_{1} \\boldsymbol{A}+\\cdots+a\_{n} \\boldsymbol{A}^{m}$$+a\_{1} \\boldsymbol{A}+\\cdots+a\_{n} \\boldsymbol{A}^{m}$的特征值 (实际上,这里的幂次m可取负数,只要认为$A^{m}=(A^{-1})^n$)

特征值不相等$\\Rightarrow$特征向量线性无关

设 $\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{m}$ 是方阵 $A$ 的 $m$ 个特征值 $, p\_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{m}$ 依次是与之对应的特征向量,如果 $\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{m}$ 各不相等 ,则 $p\_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{m}$ 线性无关.

证明(用数学归纳法证明)

当m=1时，因特征向量$p\_1\\neq 0$，故只含一个向量的向量组$p\_1$线性无关.

假设当 m = k – 1 时结论成立,要证当 m = k 时结论也成立。假设$p\_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{k-1}$线性无关, 令$x\_{1} p\_{1}+x\_{2} p\_{2}+\\cdots+x\_{k-1} p\_{k-1}+x\_{k} p\_{k}=0$, (1) 用A左乘上式，得$x\_{1} A p\_{1}+x\_{2} A p\_{2}+\\cdots+x\_{k-1} A p\_{k-1}+x\_{k} A p\_{k}=0$ 即$x\_{1} \\lambda\_{1} p\_{1}+x\_{2} \\lambda\_{2} p\_{2}+\\cdots+x\_{k-1} \\lambda\_{k-1} p\_{k-1}+x\_{k} \\lambda\_{k} p\_{k}=0$ (2)

$(2) – \\lambda\_k (1)$得$x\_{1}\\left(\\lambda\_{1}-\\lambda\_{k}\\right) p\_{1}+x\_{2}\\left(\\lambda\_{2}-\\lambda\_{k}\\right) p\_{2}+\\cdots+x\_{k-1}\\left(\\lambda\_{k-1}-\\lambda\_{k}\\right) p\_{k-1}=0$ 由于$p\_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{k-1}$线性无关,$x\_{i}\\left(\\lambda\_{i}-\\lambda\_{k}\\right)=0(i=1,2, \\cdots, k-1),$ 而 $\\lambda\_{i}-\\lambda\_{k} \\neq 0$$(i=1,2, \\cdots, k-1)$, 于是$x\_{i}=0(i=1,2, \\cdots, k-1)$ 代入(2)得$x\_{k} p\_{k}=0$.而$p\_{k} \\neq 0,$ 得$x\_{k}=0 .$ 因此, 向量组 $p\_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{k}$ 线性无关.

相似矩阵

矩阵相似$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{B}$

设A,B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{B}$,则称B是A的相似矩阵，或说矩阵A与B相似. 对A进行运算$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}$称为对A进行相似变换，可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵

矩阵相似的性质

反身性对称性传递性

矩阵A与A相似

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵B与A相似

矩阵A与B相似,B与C相似$\\Rightarrow$矩阵A与C相似

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A+kE$与$B+kE$相似

注意: 虽然有性质:矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A+kE$与$B+kE$相似但是,并没有A的多项式与B的多项式相似的结论!!!

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A^n$与$B^n$相似

特别的,矩阵A与$\\Lambda$相似$\\Rightarrow$矩阵$A^n$与$\\Lambda^n$相似

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$$r(A)=r(B)$

证明矩阵A与B相似,即$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{B}$, 又P是可逆矩阵,初等变换变换不改变矩阵的秩, 所以$r(A)=r(B)$

定理: n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同

证明 $|\\boldsymbol{B}-\\lambda \\boldsymbol{E}|=\\left|\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}-\\boldsymbol{P}^{-1}(\\lambda \\boldsymbol{E}) \\boldsymbol{P}\\right|=\\left|\\boldsymbol{P}^{-1}(\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E}) \\boldsymbol{P}\\right|$ $=\\left|\\boldsymbol{P}^{-1}\\right||\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E}||\\boldsymbol{P}|=|\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E}|$

推论: n阶矩阵A与对角阵$\\Lambda$相似$\\Rightarrow$$\\Lambda$对角线上的值是$\\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值

若 n 阶矩阵 A 与对角阵$\\mathbf{\\Lambda}=\\left(\\begin{array}{llll}\\lambda\_{1} \& \& \& \\ \& \\lambda\_{2} \& \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \\lambda\_{n}\\end{array}\\right)$相似,则 $\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$ 即是 $\\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值

证明

因 $\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$ 即是 $\\boldsymbol{\\Lambda}$ 的 $n$ 个特征值,由矩阵相似的性质：[n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同](#定理: n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同)知 $\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$ 也就是A的n个特征值

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$$|A|=|B|$

证明根据:[特征值之和$\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ 与特征值之积$\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$](#特征值之和$\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ 与特征值之积$\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$), 以及定理: [n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同](#定理: n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同) 立即可知,若矩阵A与B相似,则$|A|=|B|$

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$$\\sum a\_{ii}=\\sum b\_{ii}$

证明根据:[特征值之和$\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ 与特征值之积$\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$](#特征值之和$\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}$ 与特征值之积$\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|$), 以及定理: [n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同](#定理: n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同) 立即可知,若矩阵A与B相似,则矩阵的迹相等

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A^T$与$B^T$相似

证明矩阵A与B相似,即$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{B}$, 则$(\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P})^T=\\boldsymbol{B}^T$, 即$\\boldsymbol{P}^{T} \\boldsymbol{A} {(\\boldsymbol{P^{-1}}})^T=\\boldsymbol{B}^T$, 即$\\boldsymbol{P}^{T} \\boldsymbol{A} {(\\boldsymbol{P^{T}}})^{-1}=\\boldsymbol{B}^T$ 即矩阵$A^T$与$B^T$相似

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A^{-1}$与$B^{-1}$相似

证明矩阵A与B相似,即$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{B}$, 则$(\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P})^{-1}=\\boldsymbol{B}^{-1}$, 即$\\boldsymbol{P} \\boldsymbol{A}^{-1} \\boldsymbol{P^{-1}}=\\boldsymbol{B}^{-1}$, 令$Q=P^{-1}$,则$\\boldsymbol{Q}^{-1} \\boldsymbol{A}^{-1} \\boldsymbol{Q}=\\boldsymbol{B}^{-1}$, 即矩阵$A^{-1}$与$B^{-1}$相似

矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A^$与$B^$相似

证明 $AA^*=A^* A = |A| E$ 则$A^\* = |A| A^{-1}$ 根据矩阵A与B相似$\\Rightarrow$$|A|=|B|$, 以及矩阵A与B相似$\\Rightarrow$矩阵$A^{-1}$与$B^{-1}$相似得$\\boldsymbol{Q}^{-1} \\boldsymbol{A}^{-1} \\boldsymbol{Q}=\\boldsymbol{B}^{-1}$ 进一步有$\\boldsymbol{Q}^{-1} |A|\\boldsymbol{A}^{-1} \\boldsymbol{Q}=|B| \\boldsymbol{B}^{-1}$ 即$\\boldsymbol{Q}^{-1} \\boldsymbol{A}^{*} \\boldsymbol{Q}=\\boldsymbol{B}^{*}$ 即矩阵$A^*$与$B^*$相似

矩阵A与B相似,矩阵C与D相似$\\Rightarrow$矩阵$\\left(\\begin{array}{ll}A \& 0\\0 \& C \\end{array}\\right)$与$\\left(\\begin{array}{ll}B \& 0\\0 \& D \\end{array}\\right)$相似

//TODO

矩阵对角化$P^{-1} A P=\\Lambda$

对n阶矩阵A，寻求相似变换矩阵P，使$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{P}=\\boldsymbol{\\Lambda}$为对角阵这就称为把矩阵A对角化 (即找与矩阵A相似的对角矩阵)

注: 根据矩阵相似的[推论: n阶矩阵A与对角阵$\\Lambda$相似$\\Rightarrow$$\\Lambda$对角线上的值是$\\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值](#推论: n阶矩阵A与对角阵$\\Lambda$相似$\\Rightarrow$$\\Lambda$对角线上的值是$\\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值),可见用$\\Lambda$矩阵求特征值是一种很好的方法,

矩阵可对角化的充要条件

$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关

即定理: n阶矩阵A与对角阵相似（即A能对角化）$\\Leftrightarrow$A有n个线性无关的特征向量

$"\\Rightarrow"$的证明:

若有可逆矩阵 P 使 $P^{-1} A P=\\Lambda$ 为对角阵, 即有$A P=P A$. 把P用其列向量表示为$\\boldsymbol{P}=\\left(\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}\\right)$ 则 $\\boldsymbol{A}\\left(p_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{n}\\right)$ $=\\left(p\_{1}, p\_{2}, \\cdots, p\_{n}\\right)\\left(\\begin{array}{cccc}\\lambda\_{1} \& \& \& \\ \& \\lambda\_{2} \& \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& \\lambda\_{n}\\end{array}\\right)$ $=\\left(\\lambda\_{1} p\_{1}, \\lambda\_{2} p\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n} p\_{n}\\right)$ 即$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i} \\quad(i=1,2, \\cdots, n)$ 又矩阵P可逆,则r(P)=n,对应的列向量组$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关

$"\\Leftarrow"$的证明:

对于矩阵A,根据n阶方阵A有n个特征值(含重根),可以找到n个特征值$\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$，并可对应地求得n个特征向量$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$，(写成列向量),写出n个特征方程$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda\_{i} \\boldsymbol{p}_{i} \\quad(i=1,2, \\cdots, n)$ 令这n个特征向量构成矩阵$\\boldsymbol{P}=\\left(\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}\\right)$ 则$A P=P A$ 又$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关,则$r\\left(\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}\\right)=n$ 则$r(P)=n$,则P可逆, 则有$P^{-1} A P=\\Lambda$

$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$矩阵的每个特征值的代数重数等于它的几何重数的矩阵

参考:特征多项式、代数重数与几何重数

简单的说,$|A-\\lambda E|=(\\lambda\_1-\\lambda)^{k\_1}\\cdots(\\lambda\_m – \\lambda)^{k\_m} = 0$中,特征值$\\lambda\_i$的重数$k\_i$称为特征值$\\lambda\_i$的代数重数; $(A-\\lambda E)x = 0$中$\\lambda=\\lambda\_i$时,解空间的维数(解的极大线性无关组的个数)特征值$\\lambda\_i$的几何重数.

实际上,这和上一条性质[$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关](#$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关)是等价的,都是矩阵可对角化的充要条件

eg: 不可对角化的例子: $A =\\left(\\begin{array}{ll}1 \& 1\\0 \& 1 \\end{array}\\right)$ 根据$Ax=\\lambda x$,即$(A-\\lambda E) x = 0$,确定特征值与特征向量: 令$|A-\\lambda E|=\\left|\\begin{array}{ll}1-\\lambda \& 1\\0 \& 1-\\lambda \\end{array}\\right|=(1-\\lambda)^2=0$ $\\lambda=1$是二重根,即特征值$\\lambda = 1$的代数重数为2. 若$\\lambda=1$, 则$(A-\\lambda E) x = 0$化为$\\left(\\begin{array}{ll}0 \& 1\\0 \& 0 \\end{array}\\right)x= 0$ 则$r(A-\\lambda E)=1$, 则$n-r(A-\\lambda E)=2-1=1$,即方程组$\\left(\\begin{array}{ll}0 \& 1\\0 \& 0 \\end{array}\\right)x= 0$解空间的极大线性无关组个数为1 即特征值$\\lambda = 1$的几何重数为1

矩阵相似对角化性质

n阶矩阵A的特征值互不相等$\\Rightarrow$矩阵A与$\\Lambda$相似

证明: 由于n阶矩阵A的特征值$\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$互不相等,根据矩阵相似的性质:特征值不相等$\\Rightarrow$特征向量线性无关, 则各特征值对应的特征向量$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关即$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda\_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关根据矩阵对角化充要条件:[$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关](#$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关) 得:$P^{-1} A P=\\Lambda$

$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{\\Lambda}$ $\\Rightarrow$ $\\varphi(\\boldsymbol{A})=\\boldsymbol{P} \\varphi(\\boldsymbol{\\Lambda}) \\boldsymbol{P}^{-1}$

证明(线性代数矩阵章节曾经证过一次)

矩阵章节曾证明: 若有可逆矩阵 P 使 P $^{-1} A P=\\Lambda$ 为对角阵 $\\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{P B P}^{-1}$,$\\boldsymbol{A}^{k}=\\boldsymbol{P} \\boldsymbol{B}^{k} \\boldsymbol{P}^{-1}$,$\\varphi(\\boldsymbol{A})=\\boldsymbol{P} \\varphi(\\boldsymbol{B}) \\boldsymbol{P}^{-1}$

特别的:取B为对角阵, 即 P $^{-1} A P=\\Lambda$ 为对角阵, 则有$\\varphi(\\boldsymbol{A})=\\boldsymbol{P} \\varphi(\\boldsymbol{B}) \\boldsymbol{P}^{-1}$

$f(\\lambda)$是矩阵A的特征多项式$\\Rightarrow$$f(A)=O$

注: $f(\\lambda) = |A-\\lambda E|$为矩阵A的特征多项式

证明(仅证可对角化的情况)

矩阵可对角化时的情况: A与对角阵相似，即有可逆矩阵P，使$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{\\Lambda}=\\operatorname{diag}\\left(\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{n}\\right)$,其中$f\\left(\\lambda\_{i}\\right)=0$ ( 因为$\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$ 是 $\\boldsymbol{\\Lambda}$ 的 $n$ 个特征值,根据[定理: n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同](#定理: n阶矩阵A与B相似$\\Rightarrow$A与B的特征多项式相同$\\Rightarrow$A与B的特征值相同) 则$\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{n}$ 是A的 $n$ 个特征值，所以$f\\left(\\lambda\_{i}\\right)=0$ ) 则$f(A)=P f(\\Lambda) P^{-1}$ $=P\\left(\\begin{array}{ccc}f\\left(\\lambda\_{1}\\right) \& \& \\ \& \\ddots \& \\ \& \& f\\left(\\lambda\_{n}\\right)\\end{array}\\right) \\boldsymbol{P}^{-1}$ $=P O P^{-1}=O$

其他情况: //TODO

对称矩阵的对角化

对称矩阵

(实)对称矩阵的性质

实对称阵的特征值为实数

证明设复数$\\lambda$为矩阵A的特征值,复向量x为对应的特征向量,即$A x=\\lambda x, x \\neq 0$ 设$\\bar{\\lambda}$是$\\lambda$的共轭复数,$\\bar{x}$是x的共轭复向量. A 为实矩阵,有 $A=\\bar{A}$, 故 $A \\vec{x}=$$\\bar{A} \\bar{x}=(\\overline{A x})=(\\overline{\\lambda x})=\\bar{\\lambda} \\bar{x}$ 根据: $\\bar{x}^{\\top} A x=\\bar{x}^{\\top}(A x)=\\bar{x}^{\\top} \\lambda x=\\lambda x^{\\top} x$ $\\overline{\\boldsymbol{x}}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}=\\left(\\overline{\\boldsymbol{x}}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A}^{\\mathrm{T}}\\right) \\boldsymbol{x}=(\\boldsymbol{A} \\overline{\\boldsymbol{x}})^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{x}=(\\vec{\\lambda} \\overline{\\boldsymbol{x}})^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{x}=\\bar{\\lambda} \\overline{\\boldsymbol{x}}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{x}$ 两式相减,有$(\\lambda-\\bar{\\lambda}) \\vec{x}^{\\top} x=0$ 又$x \\neq 0$,所以 $\\lambda-\\bar{\\lambda}=0,$ 即 $\\lambda=\\bar{\\lambda},$ 这就说明 $\\lambda$ 是实数

显然,特征值 $\\lambda\_i$ 为实数时,齐次线性方程组$\\left(A-\\lambda\_{i} E\\right) x=0$是实系数方程组, 再根据$\\left|\\boldsymbol{A}-\\lambda\_{i} \\boldsymbol{E}\\right|=0$,必有实的基础解系,对应的特征向量可以取实向量

对称阵A特征值$\\lambda\_1 \\neq \\lambda\_2$$\\Rightarrow$特征向量$p\_1,p\_2$正交

证明 $\\lambda\_{1} p\_{1}=A p\_{1}, \\lambda\_{2} p\_{2}=A p\_{2}, \\lambda\_{1} \\neq \\lambda\_{2}$ $\\lambda\_{1} p\_{1}^{\\mathrm{T}}=\\left(\\lambda\_{1} p\_{1}\\right)^{\\mathrm{T}}=\\left(A p\_{1}\\right)^{\\mathrm{T}}=p\_{1}^{\\mathrm{T}} A^{\\mathrm{T}}=p\_{1}^{\\mathrm{T}} A$ $\\lambda\_{1} \\boldsymbol{p}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{p}_{2}=\\boldsymbol{p}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{2}=\\boldsymbol{p}_{1}^{\\mathrm{T}}\\left(\\lambda_{2} \\boldsymbol{p}_{2}\\right)=\\lambda_{2} \\boldsymbol{p}_{1}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{p}_{2}$ 移项得$\\left(\\lambda\_{1}-\\lambda\_{2}\\right) p\_{1}^{\\mathrm{T}} p\_{2}=0$ 但 $\\lambda\_{1} \\neq \\lambda\_{2},$ 故 $p\_{1}^{\\mathrm{T}} p\_{2}=0,$ 即 $p\_{1}$ 与 $p\_{2}$ 正交

A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$

证明:知乎:为什么实对称矩阵一定能对角化？

A是对称阵,$\\lambda$是A的特征方程的k重根$\\Rightarrow$矩阵$A – \\lambda E$ 的秩$R(\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E})=n-k$ $\\Rightarrow$对应特征值$\\lambda$恰有 $k$ 个线性无关的特征向量

证明根据[A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=$\Lambda](#A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$), 则对称阵 A 与对角阵 $\\boldsymbol{\\Lambda}=\\operatorname{diag}\\left(\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{n}\\right)$ 相似. 则$\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E}$与与 $\\boldsymbol{\\Lambda}-\\lambda \\boldsymbol{E}=\\operatorname{diag}\\left(\\lambda\_{1}-\\lambda, \\cdots, \\lambda\_{n}-\\lambda\\right)$ 相似.

当 $\\lambda$ 是 A 的 $k$ 重特征根时, $\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{n}$中有k个等于 $\\lambda,$ 有 $n-k$ 个不等于 $\\lambda$, 则对角阵$ \Lambda – \lambda E$的对角元恰有 k 个等于 0, 则$n – k=r( \Lambda – \lambda E)= r( A – \lambda E)$, 则$n-r( A – \lambda E)= k$, 即对应特征值$ \lambda $恰有 k 个线性无关的特征向量

对称阵必可对角化

由: [对称阵A特征值$\\lambda\_1 \\neq \\lambda\_2$$\\Rightarrow$特征向量$p\_1,p\_2$正交](#对称阵A特征值$\\lambda\_1 \\neq \\lambda\_2$$\\Rightarrow$特征向量$p\_1,p\_2$正交), [A是对称阵,$\\lambda$是A的特征方程的k重根$\\Rightarrow$$\\lambda$恰有 $k$ 个线性无关的特征向量](#A是对称阵,$\\lambda$是A的特征方程的k重根$\\Rightarrow$矩阵$A – \\lambda E$ 的秩$R(\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E})=n-k$ $\\Rightarrow$对应特征值$\\lambda$恰有 $k$ 个线性无关的特征向量) 可知: 对称阵A有n个线性无关的特征向量, 对称阵A的每个特征值的代数重数等于它的几何重数. 根据[$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关](#$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$P可逆且$\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}$$\\Leftrightarrow$$\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}$且$\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}$线性无关), 则对称阵A必可对角化. (根据[$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$矩阵的每个特征值的代数重数等于它的几何重数](#$P^{-1} A P=\\Lambda$$\\Leftrightarrow$矩阵的每个特征值的代数重数等于它的几何重数的矩阵)也可得出对称阵必可对角化的结论)

对称矩阵对角化步骤

由对称阵必可对角化 [A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$](#A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$)

可以给出矩阵对角化的一般步骤:

1)求出 A 的全部互不相等的特征值 $\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{s},$ 它们的重数依次为 $k\_{1}, \\cdots,$$k\_{s}\\left(k\_{1}+\\cdots+k\_{s}=n\\right)$ 2)对每个 $k\_{i}$ 重特征值 $\\lambda\_{i},$ 求方程 $\\left(A-\\lambda\_{i} E\\right) x=0$ 的基础解系, 得 $k\_{i}$ 个线性无关的特征向量. 3)它们正交化[^3],单位化,得 $k\_{i}$ 个两两正交的单位特征向量. 4)把这 n 个两两正交的单位特征向量构成正交阵 P，便有$\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{P}=$$\\boldsymbol{P}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{\\Lambda}$,注意 A 中对角元的排列次序应与 P 中列向量的排列次序相对应 .

[^3]:由于[对称阵A不同特征值的特征向量已保证正交](#对称阵A特征值$\\lambda\_1 \\neq \\lambda\_2$$\\Rightarrow$特征向量$p\_1,p\_2$正交),只需正交化每个特征值对应的特征向量即可

二次型及其标准型

二次型的引入

讨论n个变量的二次齐次多项式的化简问题,可以引入二次型.

以平面解析几何为例，为了便于研究二次曲线:$a x^{2}+b x y+c y^{2}=1$的几何性质, 做适当的坐标(旋转)变换: $\\left{\\begin{array}{l}x=x^{\\prime} \\cos \\theta-y^{\\prime} \\sin \\theta \\ y=x^{\\prime} \\sin \\theta+y^{\\prime} \\cos \\theta\\end{array}\\right.$ 则二次曲线变为标准型:$m x^{\\prime 2}+n y^{\\prime 2}=1$ 从代数学的角度看, 坐标变换前二次曲线左边$a x^{2}+b x y+c y^{2}$是二次齐次多项式, 坐标变换后曲线左边$m x^{\\prime 2}+n y^{\\prime 2}$是仅含平方项的二次齐次多项式. 通过坐标变换,二次齐次式形式得到化简.

二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x}$

二次型定义

含有 $n$ 个变量 $x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}$ 的二次齐次函数: $f\\left(x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}\\right)=a\_{11} x\_{1}^{2}+a\_{22} x\_{2}^{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}^{2}$$+2 a\_{12} x\_{1} x\_{2}+2 a\_{13} x\_{1} x\_{3}+\\cdots+2 a\_{n-1, n} x\_{n-1} x\_{n}$ 称为二次型.

取 $a\_{j i}=a\_{i j}$,则二次型还可以写成: $f=a\_{11} x\_{1}^{2}+a\_{12} x\_{1} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{1} x\_{n}$$+a\_{21} x\_{2} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}^{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{2} x\_{n}$$+\\cdots+a\_{n 1} x\_{n} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{n} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}^{2}$ $=\\sum\_{i, j=1}^{n} a\_{i j} x\_{i} x\_{j}$

进一步,利用矩阵,二次型还可以表示为: $f=x\_{1}\\left(a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n}\\right)$$+x\_{2}\\left(a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}\\right)$$+\\cdots+x\_{n}\\left(a\_{n 1} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}\\right)$ $=\\left(x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}\\right)$$\\left(\\begin{array}{c}a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n} \\ a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n} \\ \\vdots \\ a\_{n 1} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}\\end{array}\\right)$ $=\\left(x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}\\right)\\left\[\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& a\_{n 2} \& \\cdots \& a\_{n n}\\end{array}\\right\]\\left(\\begin{array}{c}x\_{1} \\ x\_{2} \\ \\vdots \\ x\_{n}\\end{array}\\right)$ $=\\boldsymbol{x}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}$ 其中A是对称阵(因为 $a\_{j i}=a\_{i j}$)

由上面可知,任给一个二次型，就惟一地确定一个对称阵；反之，任给一个对称阵，也可惟一地确定一个二次型。这样，二次型与对称阵之间存在一一对应的关系。因此，我们把对称阵A叫做二次型$f$的矩阵，也把**$f$叫做对称阵A的二次型**, 对称阵A的秩就叫做二次型f的秩

标准型$f=\\boldsymbol{y}^{\\mathrm{T}} \\Lambda \\boldsymbol{ y}$

对于二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x}$,若二次型的矩阵A是对角阵, 即f仅含平方项,即$f=\\boldsymbol{y}^{\\mathrm{T}} \\Lambda \\boldsymbol{ y}$,称这样的二次型为标准型

规范型

对于标准型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x}$(其中A为对角阵), 若对角阵A元素只包含0,+1,-1,称这样的标准型为规范型

矩阵合同

矩阵合同的引入

矩阵合同概念是在二次型做线性变换过程中产生的.

对于二次型$f=\\boldsymbol{x}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{x}$, 记可逆矩阵$C=\\left(c\_{i j}\\right)$,作线性变换$x=C y$ 则有$f=x^{\\mathrm{T}} A x=(C y)^{\\mathrm{T}} A C y=y^{\\mathrm{T}}\\left(C^{\\mathrm{T}} A C\\right) y$

矩阵合同$\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}$

设 A 和 B 是 $n$ 阶矩阵,若有可逆矩阵 $\\boldsymbol{C},$ 使 $\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}$,则称矩阵A 与 $\\boldsymbol{B}$ 合同. (注意:这里并没有要求A与B为对称矩阵,则矩阵A与B不一定可以作为二次型的矩阵)

事实上,矩阵合同一般应用于二次型: 若矩阵A 与$B$合同,且A为对称矩阵,则矩阵A可认为是二次型f的矩阵, 矩阵A与B合同指明了各自对应二次型f到g作的线性变换是$x=C y$,即$f=f(x)=f(Cy)=g(y)$

矩阵合同的性质

反身性对称性传递性

矩阵A与A合同

矩阵A与B合同$\\Rightarrow$矩阵B与A合同

矩阵A与B合同,矩阵B与C合同$\\Rightarrow$矩阵A与C合同

$\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}$且A为对称阵$\\Rightarrow$B也是对称阵

证明 $\\boldsymbol{B}^{\\mathrm{T}}=\\left(\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{C}\\right)^{\\mathrm{T}}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{C}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A} \\boldsymbol{C}=\\boldsymbol{B}$ 即B也是对称阵

$\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}$$\\Rightarrow$$R(A) = R(B)$

证明 C是可逆矩阵,则$C^T$也是可逆矩阵, 对A作初等变换$\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}=\\boldsymbol{B}$不改变矩阵的秩, 则$R(A) = R(B)$

$\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}$且A与B是实对称阵$\\Rightarrow$对应二次型的正负惯性指数分别相同

证明(参考:https://www.jianshu.com/p/0ffe6ef97844) 充分性：设X,Y是两个实对称矩阵,设他们有相同的惯性指数,则X、Y有相同的规范式A,即存在可逆矩阵C、P使得C’XC=A、P’YP=A即(P^-1)‘C’XC(P^-1)=[C(P-1)]’X[(p^-1)C]=Y,所以X、Y合同. 必要性：设X,Y是两个合同的实对称矩阵,即C’XC=Y；有Y与其规范式A合同,即P’YP=A. 所以P’(C’XC)P=A,即(CP)’X(CP)=A,此即表示X也合同于规范式A.所以X、Y有相同的规范式,即有相同的正负惯性指数.

这里涉及到二次型的正负惯性指数概念,以及惯性定理,详见后面惯性定理

二次型作线性变换$\\Rightarrow$原二次型的矩阵与现二次型的矩阵合同

$x^T A x$经线性变换$x=Cy$ (C可逆时) 有$x^T A x = y^T (C^T A C) y = y^T B y$ 其中二次型的矩阵A与B满足$C^T A C = B$且C可逆, 即A与B合同

二次型化为标准型

要使二次型 $f$ 经可逆变换 $x=C y$ 变成标准形, 即$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x}=\\boldsymbol{y}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C y}=k\_{1} y\_{1}^{2}+k\_{2} y\_{2}^{2}+\\cdots+k\_{n} y\_{n}^{2}$ $=\\boldsymbol{y}^{\\mathrm{T}} \\Lambda \\boldsymbol{ y}$

(矩阵合同对角化/正交变换对角化/对称矩阵对角化)使对应二次型化为标准型

从从二次型的矩阵的角度看,二次型化为标准型的过程对应矩阵$\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}=\\boldsymbol{\\Lambda}$, 问题转化为寻找可逆矩阵$C$,使矩阵$\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}=\\boldsymbol{\\Lambda}$, 即矩阵的合同对角化问题.

定理:任意二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x},\\left(\\mathbf{A}^{\\mathrm{T}}=\\mathbf{A}\\right)$,总能找到正交变换$x=P y$使$f$化为标准型$f=\\boldsymbol{y^{\\mathrm{T}} \\Lambda y}$$=\\lambda\_{1} y\_{1}^{2}+\\lambda\_{2} y\_{2}^{2}+\\cdots+\\lambda\_{n} y\_{n}^{2}$

证明: 任意二次型的矩阵A是对称阵, 由对称阵的性质:[A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$](#A是对称阵$\\Rightarrow$存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$) 则必存在正交矩阵存在正交矩阵P,使得$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$ 即A必可合同对角化, 则二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x}$,总能找到正交变换$x=P y$使$f$化为标准型$f=\\boldsymbol{y^{\\mathrm{T}} \\Lambda y}$$=\\lambda\_{1} y\_{1}^{2}+\\lambda\_{2} y\_{2}^{2}+\\cdots+\\lambda\_{n} y\_{n}^{2}$

推论:任意二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x},\\left(\\mathbf{A}^{\\mathrm{T}}=\\mathbf{A}\\right)$,总能找到正交变换$x=C z$使$f(Cz)$为规范型

证明: 首先,根据定理:[任意二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x},\\left(\\mathbf{A}^{\\mathrm{T}}=\\mathbf{A}\\right)$,总能找到正交变换$x=P y$使$f$化为标准型$f(Py)=\\boldsymbol{y^{\\mathrm{T}} \\Lambda y}$](#定理:任意二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x},\\left(\\mathbf{A}^{\\mathrm{T}}=\\mathbf{A}\\right)$,总能找到正交变换$x=P y$使$f$化为标准型$f=\\boldsymbol{y^{\\mathrm{T}} \\Lambda y}$$=\\lambda\_{1} y\_{1}^{2}+\\lambda\_{2} y\_{2}^{2}+\\cdots+\\lambda\_{n} y\_{n}^{2}$) 即二次型先正交变换成标准型:$f(\\boldsymbol{P y})=\\boldsymbol{y}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{\\Lambda} \\boldsymbol{y}=\\lambda\_{1} y\_{1}^{2}+\\cdots+\\lambda\_{n} y\_{n}^{2}$ 设二次型$f$的秩为r,即$\\lambda\_1,\\lambda\_2,\\cdots,\\lambda\_n$中有r个非零值, 不妨设$\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{r}$不等于0,$\\lambda\_{r+1}=\\cdots=\\lambda\_{n}=0$ 取一个特殊矩阵: $\\boldsymbol{K}=\\left(\\begin{array}{cccc}k\_{1} \& \& \& \\ \& k\_{2} \& \& \\ \& \& \\ddots \& \\ \& \& \& k\_{n}\\end{array}\\right)$,其中$k\_{i}=\\left{\\begin{array}{cc}\\frac{1}{\\sqrt{| \\lambda\_{i}|}},\& i \\leqslant r \\ 1,\&i \> r\\end{array}\\right.$ 则K可逆, 作线性变换$y=K z$, $f(\\boldsymbol{P y})=f(P K z)=z^{\\mathrm{T}} K^{\\mathrm{T}} P^{\\mathrm{T}} A P K z=z^{\\mathrm{T}} K^{\\mathrm{T}} \\Lambda K z=z^{\\mathrm{T}} \\Lambda\_2 z$ 其中$\\Lambda\_2 = \\boldsymbol{K}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{\\Lambda K}=\\operatorname{diag}\\left(\\frac{\\lambda\_{1}}{\\left|\\lambda\_{1}\\right|}, \\cdots, \\frac{\\lambda\_{r}}{\\mid \\lambda\_{r}\\mid}, 0, \\cdots, 0\\right)$ 即通过线性变换$x=PKz=Cz$,可将任意二次型$f=\\boldsymbol{x^{\\mathrm{T}} A x},\\left(\\mathbf{A}^{\\mathrm{T}}=\\mathbf{A}\\right)$,变为规范型, 且注意到P是正交矩阵,$C=PK$仍是正交矩阵.

矩阵合同对角化/矩阵正交对角化/对称矩阵对角化步骤

由于二次型的矩阵是对称矩阵, 则寻找可逆矩阵$C$,使矩阵$\\boldsymbol{C}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A C}=\\boldsymbol{\\Lambda}$的步骤就是对称矩阵的正交对角化步骤

正交变换好处是不改变几何形状(参见[正交变换的性质](#设y = Px 为正交变换，则$|y|=|x|$))

配方法化二次型为标准型

如果不考虑几何形状的的改变,除了正交变换法, 也可以使用配方法来将二次型变换为标准型

注意:有多种方法可以把二次型转换为标准型,对应有多种可逆的线性变换

拉格朗日配方法

若二次型中含$x\_1$的平方项, 先将含$x\_1$的所有项(包含非平方项)归并起来,配方. 若二次型中含$x\_2$的平方项, 将剩余项中含$x\_2$的所有项(包含非平方项)归并起来,配方. … 作线性变换: 将配方之后的平方项内的一次项之和设为为$y\_1,y\_2,…$, 令未出现的$x\_i$项设为$y\_j$,

eg: 对于二次型$f=x\_{1}^{2}+2 x\_{2}^{2}+5 x\_{3}^{2}+2 x\_{1} x\_{2}+2 x\_{1} x\_{3}+6 x\_{2} x\_{3}$ 其中含$x\_1$的平方项,可先将含$x\_1$的所有项归并起来,配方: $f=\\left(x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}\\right)^{2}-x\_{2}^{2}-x\_{3}^{2}-2 x\_{2} x\_{3}+2 x\_{2}^{2}+5 x\_{3}^{2}+6 x\_{2} x\_{3}$ 剩余项中含$x\_2$的平方项,将剩余项中含$x\_2$的所有项归并起来,配方: $f=\\left(x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}\\right)^{2}+\\left(x\_{2}+2 x\_{3}\\right)^{2}$ 则作线性变换： $\\left{\\begin{array}{ll}y\_{1}=x\_{1}+\&x\_{2}+\&x\_{3} \\ y\_{2}= \& x\_{2}+\&2 x\_{3} \\ y\_{3}=\& \& x\_{3}\\end{array}\\right.$ 就将二次型化为了标准型

若二次型中完全不含$x\_i$的平方项, 可先作一次简单的线性变换,使新的二次型中出现平方项, 然后重新用上面的方法配方

eg: 对于二次型$f=2 x\_{1} x\_{2}+2 x\_{1} x\_{3}-6 x\_{2} x\_{3}$ 其完全不含平方项,无法配方, 可以先作一次简单的线性变换: $\\left{\\begin{array}{l}x\_{1}=y\_{1}+y\_{2} \\ x\_{2}=y\_{1}-y\_{2} \\ x\_{3}=y\_{3}\\end{array}\\right.$ 二次型化为:$f=2 y\_{1}^{2}-2 y\_{2}^{2}-4 y\_{1} y\_{3}+8 y\_{2} y\_{3}$ 其中出现了平方项,可以配方, 配方结果为:$f=2\\left(y\_{1}-y\_{3}\\right)^{2}-2\\left(y\_{2}-2 y\_{3}\\right)^{2}+6 y\_{3}^{2}$ 作线性变换: $\\left{\\begin{array}{l}z\_{1}=\\sqrt{2}\\left(y\_{1}-y\_{3}\\right) \\ z\_{2}=\\sqrt{2}\\left(y\_{2}-2 y\_{3}\\right) \\ z\_{3}=\\sqrt{6} y\_{3}\\end{array}\\right.$ 可得规范型:$f=z\_{1}^{2}-z\_{2}^{2}+z\_{3}^{2}$

正定二次型

二次型可以化为标准型,显然对应的线性变换不唯一;但是标准型中所含的项数是一定的. 在线性变换为实变换时,不同标准型中正系数的个数也是一定的(从而负系数的个数也是一定的). 此规律总结为如下惯性定理.

惯性定理

设有二次型 $f=x^{\\mathrm{T}} A x,$ 它的秩为 $r$, 有两个可逆变换$x=C y$ 及 $x=P z$ 使得 $f=k\_{1} y\_{1}^{2}+k\_{2} y\_{2}^{2}+\\cdots+k\_{r} y\_{r}^{2} \\quad\\left(k\_{i} \\neq 0\\right)$ $f=\\lambda\_{1} z\_{1}^{2}+\\lambda\_{2} z\_{2}^{2}+\\cdots+\\lambda\_{r} z\_{r}^{2} \\quad\\left(\\lambda\_{i} \\neq 0\\right)$ 则 $k\_{1}, \\cdots, k\_{r}$ 中正数的个数与 $\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{r}$ 中正数的个数相等

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的正惯性指数, 二次型的标准形中负系数的个数称为负惯性指数. 若二次型 f 的正惯性指数为 p,秩为 r,则 $f$ 的规范形便可确定为$f=y\_{1}^{2}+\\cdots+y\_{p}^{2}-y\_{p+1}^{2}-\\cdots-y\_{r}^{2}$

正定二次型

设有二次型 $f(x)=x^{\\mathrm{T}} A x,$ 如果对任何 $x \\neq 0$,都有 $f(x)\>0$ (显然$f(0)=0$),称**$f$ 为正定二次型**,并称对称阵 A 是正定的; 如果对任何 $x \\neq 0$,都有 $f(x)\<0$ (显然$f(0)=0$),称**$f$ 为负定二次型**,并称对称阵 A 是负定的;

二次型正定的充分必要条件

$n$ 元二次型 $f=x^{\\mathrm{T}} A x$ 为正定的$\\Leftrightarrow$它的标准型的n个系数全为正$\\Leftrightarrow$它的规范型的n个系数都为1$\\Leftrightarrow$它的正惯性系数等于n

证明设存在可逆变换$x=C y$ 使$f(x)=f(C y)=\\sum\_{i=1}^{n} k\_{i} y\_{i}^{2}$

充分性: 设 $k\_{i}\>0(i=1, \\cdots, n) .$ 任给 $x \\neq 0,$ 则 $y=C^{-1} x \\neq 0,$ 故$f(x)=\\sum\_{i=1}^{n} k\_{i} y\_{i}^{2}\>0$

必要性: 用反证法. 假设$ k_s \leqslant 0$, 则当 $y = e\_s$ (单位坐标向置)时, $f(x)=f(Cy)=f\\left(C e\_{s}\\right)=k\_{t} \\leqslant 0$ 这与二次型正定矛盾.故$k\_s\>0$ 则$k\_1,\\cdots,k\_n$都可用反证法证明大于0

推论:对称阵A正定$\\Leftrightarrow$A的特征值全为正

证明

用正交变换法对角化矩阵A,即$P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda$, 则$\\Lambda$是它的标准型的矩阵,且A与$\\Lambda$相似.

根据二次型正定充要条件:[$n$ 元二次型 $f=x^{\\mathrm{T}} A x$ 为正定的$\\Leftrightarrow$它的标准型的n个系数全为正$\\Leftrightarrow$它的规范型的n个系数都为1$\\Leftrightarrow$它的正惯性系数等于n](#$n$ 元二次型 $f=x^{\\mathrm{T}} A x$ 为正定的$\\Leftrightarrow$它的标准型的n个系数全为正$\\Leftrightarrow$它的规范型的n个系数都为1$\\Leftrightarrow$它的正惯性系数等于n), 对称阵A正定$\\Leftrightarrow$标准型的矩阵$\\Lambda$的n个对角线元素全为正.

根据相似矩阵的性质推论: [n阶矩阵A与对角阵$\\Lambda$相似$\\Rightarrow$$\\Lambda$对角线上的值是$\\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值](#推论: n阶矩阵A与对角阵$\\Lambda$相似$\\Rightarrow$$\\Lambda$对角线上的值是$\\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 个特征值),(实际上,从矩阵相似对角化过程来看,此性质应当是充要的) A与$\\Lambda$相似$\\Leftrightarrow$A与$\\Lambda$特征值相同

赫尔维茨定理:对称阵A正定$\\Leftrightarrow$A 的各阶主子式都为正

对称阵A正定 $\\Leftrightarrow$A 的各阶主子式都为正, 即$a\_{11}\>0$,$\\left|\\begin{array}{ll}a\_{11} \& a\_{12} \\ a\_{21} \& a\_{22}\\end{array}\\right|\>0$,$\\cdots$,$\\left|\\begin{array}{ccc}a\_{11} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& \\cdots \& a\_{n n}\\end{array}\\right|\>0$

对称阵A负定 $\\Leftrightarrow$A的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正, 即$(-1)^{r}\\left|\\begin{array}{ccc}a\_{11} \& \\cdots \& a\_{1 r} \\ \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{r 1} \& \\cdots \& a\_{r r}\\end{array}\\right|\>0(r=1,2, \\cdots, n)$

线性代数-相似矩阵与二次型

线性代数-相似矩阵与二次型

向量的内积、长度及正交性

向量的内积

向量内积的引入

向量x与y内积的定义

向量内积的基本性质

施瓦茨不等式\(\[x, y\]^{2} \\leqslant\[x, x\]\[y, y\]\)

向量的长度与夹角

向量长度（范数）的定义

向量长度的性质

非负性

齐次性

三角不等式

向量x与y夹角的定义

向量的正交与正交矩阵

向量正交与向量组正交

向量x与向量y正交

向量组正交

向量组非零且正交\(\\Rightarrow\)向量组线性无关

向量空间的规范正交基

规范正交基的定义

向量在规范正交基中的坐标的计算

基（线性无关向量组）的规范正交化

施密特正交化方法

单位化

正交矩阵

正交矩阵定义\(\\boldsymbol{A}^{\\mathrm{T}} \\boldsymbol{A}=\\boldsymbol{E}\)

方阵A是正交矩阵\(\\Leftrightarrow\)\(A^T =A^{-1}\)

方阵A是正交矩阵\(\\Leftrightarrow\)A的列向量组（或行向量组）是规范正交基

若A是正交阵\(\\Rightarrow\)\(A^{-1}=A^{\\mathrm{T}}\)也是正交阵,且 \(|A|=1\) 或(-1)

若A和B都是正交阵\(\\Rightarrow\)AB也是正交阵

若A是正交阵\(\\Rightarrow\)\(|Ax|=|x|\)

正交变换\(y=P x\)

设y = Px 为正交变换，则\(|y|=|x|\)

方阵的特征值与特征向量

\(A x=\\lambda x\)中A的特征值与特征向量

求特征值与特征向量

求特征值与特征向量的步骤

特征值的性质

n阶方阵A有n个特征值(含重根)

特征值之和\(\\lambda\_{1}+\\lambda\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{n}=a\_{11}+a\_{22}+\\cdots+a\_{n n}\) 与特征值之积\(\\lambda\_{1} \\lambda\_{2} \\cdots \\lambda\_{n}=|\\boldsymbol{A}|\)

\(\\lambda\)是A的特征值\(\\Rightarrow\)\(\\lambda^k\)是 \(A^k\) 的特征值

\(\\lambda\)是A的特征值\(\\Rightarrow\)\(\\lambda+k\)是 \(A+kE\) 的特征值​

\(\\lambda\)是A的特征值\(\\Rightarrow\)\(\\frac{1}{\\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值

推论:A可逆\(\\Rightarrow\)特征值非0

\(\\lambda\)是A的特征值\(\\Rightarrow\)\(\\frac{|A|}{\\lambda}\)是\(A^{\*}\)的特征值

\(\\lambda\)是A的特征值\(\\Rightarrow\)特征值多项式\(\\varphi(\\lambda)\)是对应矩阵多项式\(\\varphi(\\boldsymbol{A})\)的特征值

特征值不相等\(\\Rightarrow\)特征向量线性无关

相似矩阵

矩阵相似\(\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{B}\)

矩阵相似的性质

反身性对称性传递性

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(A+kE\)与\(B+kE\)相似

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(A^n\)与\(B^n\)相似

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)\(r(A)=r(B)\)

定理: n阶矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)A与B的特征多项式相同\(\\Rightarrow\)A与B的特征值相同

推论: n阶矩阵A与对角阵\(\\Lambda\)相似\(\\Rightarrow\)\(\\Lambda\)对角线上的值是\(\\boldsymbol{A}\) 的 \(n\) 个特征值

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)\(|A|=|B|\)

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)\(\\sum a\_{ii}=\\sum b\_{ii}\)

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(A^T\)与\(B^T\)相似

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(A^{-1}\)与\(B^{-1}\)相似

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(A^*\)与\(B^*\)相似​

矩阵A与B相似,矩阵C与D相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(\\left(\\begin{array}{ll}A \& 0\\0 \& C \\end{array}\\right)\)与\(\\left(\\begin{array}{ll}B \& 0\\0 \& D \\end{array}\\right)\)相似

矩阵对角化\(P^{-1} A P=\\Lambda\)

矩阵可对角化的充要条件

\(P^{-1} A P=\\Lambda\)\(\\Leftrightarrow\)P可逆且\(\\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{P \\Lambda}\)\(\\Leftrightarrow\)\(\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{p}_{i}=\\lambda_{i} \\boldsymbol{p}_{i}\)且\(\\boldsymbol{p}_{1}, \\boldsymbol{p}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{p}_{n}\)线性无关

\(P^{-1} A P=\\Lambda\)\(\\Leftrightarrow\)矩阵的每个特征值的代数重数等于它的几何重数的矩阵

矩阵相似对角化性质

n阶矩阵A的特征值互不相等\(\\Rightarrow\)矩阵A与\(\\Lambda\)相似

\(\\boldsymbol{P}^{-1} \\boldsymbol{A P}=\\boldsymbol{\\Lambda}\) \(\\Rightarrow\) \(\\varphi(\\boldsymbol{A})=\\boldsymbol{P} \\varphi(\\boldsymbol{\\Lambda}) \\boldsymbol{P}^{-1}\)

\(f(\\lambda)\)是矩阵A的特征多项式\(\\Rightarrow\)\(f(A)=O\)

对称矩阵的对角化

对称矩阵

(实)对称矩阵的性质

实对称阵的特征值为实数

对称阵A特征值\(\\lambda\_1 \\neq \\lambda\_2\)\(\\Rightarrow\)特征向量\(p\_1,p\_2\)正交

A是对称阵\(\\Rightarrow\)存在正交矩阵P,使得\(P^{-1} A P=P^{T} A P=\\Lambda\)

A是对称阵,\(\\lambda\)是A的特征方程的k重根\(\\Rightarrow\)矩阵\(A – \\lambda E\) 的秩\(R(\\boldsymbol{A}-\\lambda \\boldsymbol{E})=n-k\) \(\\Rightarrow\)对应特征值\(\\lambda\)恰有 \(k\) 个线性无关的特征向量

对称阵必可对角化

\(\\lambda\)是A的特征值\(\\Rightarrow\)\(\\lambda+k\)是 \(A+kE\) 的特征值

矩阵A与B相似\(\\Rightarrow\)矩阵\(A^\)与\(B^\)相似

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