线性代数-向量组的线性相关性

向量与向量组

向量

向量的定义

n 个有次序的数 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{n}\) 所组成的数组称为n 维向量, 这 \(n\)个数称为该向量的 n 个分量，第 i 个数 \(a\_i\) 称为第 \(i\) 个分量。（代数，或者说线性代数中的定义）

在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式——三个有次序的实数，也就是本书中的3维向量。因此，当n≤3时，n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当n>3时，n维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。

实向量与复向量

分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量本书中除特别指明者外，一般只讨论实向量

行向量与列向量

n维向量可写成一行，也可写成一列。分别称为行向量和列向量，也就是行矩阵和列矩阵，并规定行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算。

n维列向量： \(a=\\left(\\begin{array}{c}a\_{1} \\ a\_{2} \\ \\vdots \\ a\_{n}\\end{array}\\right)\)

n维行向量： \(a^{\\mathrm{T}}=\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{n}\\right)\)

从矩阵角度看，有着相同分量的行向量与列向量。总看做是两个不同的向量（虽然按照向量的定义，a与\(a^T\)应是同一个向量）

向量组

下面我们先讨论只含有限个向量的向量组，以后再把讨论的结果推广到含无限多个向量的向量组.

向量组的定义

若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。

（注意：向量组的每个元素都是一个向量，应该使用boldsymbol黑体，但是一些地方我偷懒了，没有用黑体，下面要注意分辨）

eg: 一个m×n矩阵的全体列向量是一个含n个m维列向量的向量组， 它的全体行向量是一个含m个n维行向量的向量组

eg2: 线性方程\(A\_{m \\times n} x=0\)的全体解当R（A）<n时是一个含无限多个n维列向量的向量组

有限个向量的向量组与矩阵一一对应

矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵。

总之，含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应。

eg1: \(m\) 个 \(n\) 维列向量所组成的向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 构成一个 \(n \\times m\) 矩阵： \(\\boldsymbol{A}=\\left(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}\_{m}\\right)\)

eg2： m 个 n 维行向量所组成的向量组 \(B: \\beta\_{1}^{\\mathrm{T}}, \\beta\_{2}^{\\mathrm{T}}, \\cdots, \\beta\_{m}^{\\mathrm{T}}\),构成一个 \(m \\times n\) 矩阵： \(\\boldsymbol{B}=\\left(\\begin{array}{c}\\boldsymbol{\\beta}_{1}^{\\mathrm{T}} \\ \\boldsymbol{\\beta}_{2}^{\\mathrm{T}} \\ \\vdots \\ \\boldsymbol{\\beta}\_{\\mathrm{m}}^{\\mathrm{T}}\\end{array}\\right)\)

向量组的线性组合

向量组的线性组合

给定向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m},\) 对于任何一组实数 \(k\_{1}, k\_{2}, \\cdots, k\_{m}\)， 表达式\(k\_{1} a\_{1}+k\_{2} a\_{2}+\\cdots+k\_{m} a\_{m}\)称为向量组 A 的一个线性组合, \(k\_{1}, k\_{2}, \\cdots, k\_{m}\) 称为这个线性组合的系数

向量b可由向量组A线性表示

向量b可由向量组A线性表示的定义

给定向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 和向量 \(b\),如果存在一组数 \(\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{m},\) 使\(b=\\lambda\_{1} a\_{1}+\\lambda\_{2} a\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{m} a\_{m}\)， 则向量 b 是向量组 A 的线代组合, 这时称向量 b 能由向量组 A 线性表示.

向量b能由向量组\(A\)线性表示\(\\Leftrightarrow\) \(b=Ax\)有解\(\\Leftrightarrow\)\(R(A)=R(A,b)\)

向量b能由向量组\(A: \\boldsymbol a\_{1}, \\boldsymbol a\_{2}, \\cdots, \\boldsymbol a\_{m}\)线性表示 \(\\Leftrightarrow\) 方程组\(b=\\lambda\_{1} \\boldsymbol a\_{1}+\\lambda\_{2} \\boldsymbol a\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{m} \\boldsymbol a\_{m}\)有解。 \(\\Leftrightarrow\) 矩阵 \(\\boldsymbol{A}=\\left(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m}\\right)\) 的秩等于矩阵 \(\\boldsymbol{B}=\\left(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m}, \\boldsymbol{b}\\right)\) 的秩 \(.\)

向量组B可由向量组A线性表示

向量组B能由向量组A线性表示概念

设有两个向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 及 \(B: b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{l},\) 若 \(B\) 组中的每个向量都能由向量组A线性表示则称向量组B能由向量组A线性表示。

列向量组$ B$ 能由列向量组\(A\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) 存在系数矩阵K，使得\(B = AK\)

若\(\\boldsymbol{B}=\\left(\\boldsymbol{b}_{1}, \\boldsymbol{b}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{b}_{l}\\right)\)（列向量组）能由组\(\\boldsymbol{A}=\\left(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m}\\right)\)（列向量组）线性表示, 即对每个向量 \(\\boldsymbol b\_{j}(j=1,2, \\cdots, l)\) 存在数\(k\_{1 j}, k\_{2 j}, \\cdots, k\_{m j},\) 使： \(\\boldsymbol b\_{j}=k\_{1 j} \\boldsymbol a\_{1}+k\_{2 j} \\boldsymbol a\_{2}+\\cdots+k\_{m j} \\boldsymbol a\_{m}=\\left(\\boldsymbol a\_{1}, \\boldsymbol a\_{2}, \\cdots, \\boldsymbol a\_{m}\\right)\\left(\\begin{array}{c}k\_{1 j} \\ k\_{2 j} \\ \\vdots \\ k\_{m j}\\end{array}\\right)\) 从而： \(\\left(\\boldsymbol b\_{1}, \\boldsymbol b\_{2}, \\cdots, \\boldsymbol b\_{l}\\right)=\\left(\\boldsymbol a\_{1}, \\boldsymbol a\_{2}, \\cdots, \\boldsymbol a\_{m}\\right)\\left(\\begin{array}{cccc}k\_{11} \& k\_{12} \& \\cdots \& k\_{1l} \\ k\_{21} \& k\_{22} \& \\cdots \& k\_{2l} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ k\_{m 1} \& k\_{m l} \& \\cdots \& k\_{m 1}\\end{array}\\right)\) 这里记：矩阵 \(\\boldsymbol{K}_{m \\times 1}=\\left(k_{i j}\\right)\) 称为这一线性表示的系数矩阵.

即，列向量组$ B$ 能由列向量组\(A\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) 存在系数矩阵K，使得\(B = AK\)

行向量组B能有行向量组A线性表示 \(\\Leftrightarrow\) 存在系数矩阵K，使得\(B = KA\)

若$ B=\left(\begin{array}{c}\boldsymbol b_{1}\ \boldsymbol b_{2}\ \vdots\ \boldsymbol b_{l}\end{array}\right)$ （行向量组）能由 \(A=\\left(\\begin{array}{c}\\boldsymbol a\_{1}\\ \\boldsymbol a\_{2}\\ \\vdots\\ \\boldsymbol a\_{m}\\end{array}\\right)\) （行向量组）线性表示, 即对每个向量 \(\\boldsymbol b\_{j}(j=1,2, \\cdots, l)\) 存在数\(k\_{i 1}, k\_{i 2}, \\cdots, k\_{i m},\) 使： \(\\boldsymbol b\_{j}=k\_{i 1} \\boldsymbol a\_{1}+k\_{i 2} \\boldsymbol a\_{2}+\\cdots+k\_{i m } \\boldsymbol a\_{m}=\\left(k\_{i 1}, k\_{i 2}, \\cdots, k\_{i m}\\right)\\left(\\begin{array}{c}\\boldsymbol a\_{1}\\ \\boldsymbol a\_{2}\\ \\vdots\\ \\boldsymbol a\_{m}\\end{array}\\right)\) 从而： \(\\left(\\begin{array}{c}\\boldsymbol b\_{1}\\ \\boldsymbol b\_{2}\\ \\vdots\\ \\boldsymbol b\_{l}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{cccc}k\_{11} \& k\_{12} \& \\cdots \& k\_{1m} \\ k\_{21} \& k\_{22} \& \\cdots \& k\_{2m} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ k\_{l 1} \& k\_{l2} \& \\cdots \& k\_{l m}\\end{array}\\right)\\left(\\begin{array}{c}\\boldsymbol a\_{1}\\ \\boldsymbol a\_{2}\\ \\vdots\\ \\boldsymbol a\_{m}\\end{array}\\right)\)

即，行向量组B能有行向量组A线性表示 \(\\Leftrightarrow\) 存在系数矩阵K，使得\(B = KA\)

向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)

向量组 \(B: b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{l}\) 能由向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) 存在系数矩阵X，使得\(B = AX\)

\(\\Leftrightarrow\) 矩阵 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m}\\right)\) 的 秩等于矩阵 \((\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})=\\left(a\_{1}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m},\\right.\\left.b_{1}, \\cdots, b\_{1}\\right)\) 的秩,即 \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)

向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Rightarrow\) \(R(\\boldsymbol{B})\\le R(\\boldsymbol{A})\)

设向量组 \(B: \\boldsymbol{b}_{1}, \\boldsymbol{b}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{b}_{l}\) 能由向量组 \(A: \\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m}\) 线性表示，则\(R\\left(b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{l}\\right) \\leqslant R\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\\right)\)

证明： 向量组 \(B: \\boldsymbol{b}_{1}, \\boldsymbol{b}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{b}_{l}\) 能由向量组 \(A: \\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{m}\) 线性表示时， 由上一条性质（定理）知\(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)， 又\(R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)， 得\(R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant R(\\boldsymbol{A})\)

综上性质：

向量组\(B: b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{l}\)能由向量组\(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\)线性表示 （几何语言） \(\\Leftrightarrow\) 有矩阵 \(\\boldsymbol{K},\) 使 \(\\boldsymbol{B}=\\boldsymbol{A K}\) （矩阵语言） \(\\Leftrightarrow\) 方程 \(A X=B\) 有解 （矩阵语言） \(\\Leftrightarrow\) \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\) （矩阵语言）

向量组\(B: b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{l}\)能由向量组\(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\)线性表示 （几何语言） \(\\Rightarrow\) \(R(\\boldsymbol{B})\\le R(\\boldsymbol{A})\) （矩阵语言）

上一章中把线性方程组写成矩阵形式，通过矩阵的运算求得它的解，还用矩阵的语言给出了线性方程组有解、有唯一解的充分必要条件； 本章中将向量组的问题表述成矩阵形式，通过矩阵的运算得出结果，然后把矩阵形式的结果“翻译”成几何问题的结论这种用矩阵来表述问题，并通过矩阵的运算解决问题的方法，通常叫做矩阵方法，这正是线性代数的基本方法，应有意识地去加强这方法的练习。

向量组等价

向量组等价概念

若向量组A与向量组B能相互线性表示，则称这两个向量组等价。

矩阵等价\(\\Leftrightarrow\)向量组等价

设矩阵A与B行等价（矩阵等价），即矩阵A经初等行变换变成矩阵B，则B的每个行向量都是A的行向量组的线性组合，即B的行向量组能由A的行向量组线性表示。由于初等变换可逆，知矩阵B亦可经初等行变换变为A，从而A的行向量组也能由B的行向量组线性表示。于是A的行向量组与B的行向量组等价（向量组等价）。

类似可知，若矩阵A与B列等价，则A的列向量组与B的列向量组等价

向量组等价$\Leftrightarrow $ \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{B})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)

向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 与向量组 \(B: b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{t}\) 等价$\Leftrightarrow $ \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{B})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)，其中 \(\\boldsymbol A\) 和 \(\\boldsymbol B\) 是向国组 A 和 \(B\) 所构成的矩阵.（其实是[相关性质](#向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\))的推广）

方程组的线性组合、线性表示、等价概念

向量组的线性组合线性表示及等价等概念，也可移用于线性方程组： 对方程组A的各个方程作线性运算所得到的一个方程就称为方程组A的一个线性组合； 若方程组B的每个方程都是方程组A的线性组合，就称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组A的解一定是方程组B的解； 若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称这两个方程组可互推，可互推的线性方程组一定同解

向量组的线性相关性

向量组的线性相关概念

给定向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m},\) 如果存在不全为零的数 \(k\_{1}, k\_{2}, \\cdots,k\_{m}\)，使得\(k\_{1} a\_{1}+k\_{2} a\_{2}+\\cdots+k\_{m} a\_{m}=0\)，则称向量组A是线性相关的，否则称它线性无关.

向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}(m \\geqslant 2)\) 线性相关 \(\\Leftrightarrow\) 在向量组 \(A\) 中至少有一个向量能由其余m-1个向量线性表示。

证明： 如果向量组 A 线性相关,则有不全为 0 的数 \(k\_{1}, k\_{2}, \\cdots, k\_{m}\) 使 \(k\_{1} a\_{1}+\)\(k\_{2} a\_{2}+\\cdots+k\_{m} a\_{m}=0 .\) 因 \(k\_{1}, k\_{2}, \\cdots, k\_{m}\) 不全为 \(0,\) 不妨设 \(k\_{1} \\neq 0,\) 于是便有\(a\_{1}=\\frac{-1}{k\_{1}}\\left(k\_{2} a\_{2}+\\cdots+k\_{m} a\_{m}\\right)\). 如果向量组A中有某个向量能由其余m-1个向量线性表示，不妨设\(\\boldsymbol{a}_{m}\)能由 \(a_{1}, \\cdots, a\_{m-1}\) 线性表示, 即有 \(\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{m-1}\) 使 \(a\_{m}=\\lambda\_{1} a\_{1}+\\cdots+\\lambda\_{m-1} a\_{m-1}\)，于是\(\\lambda\_{1} a\_{1}+\\cdots+\\lambda\_{m-1} a\_{m-1}+(-1) a\_{m}=0\)，因为 \(\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{m-1},-1\) 这 \(m\) 个数不全为 0（至少 \(- 1\\neq0\)）,所以向量组 A 线性相关。

向量组线性相关的几何意义

说向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 线性相关,通常是指 \(m \\geqslant 2\) 的情形, 但定义也适用于m=1的情形。当m=1时，向量组只含一个向量，对于只含一个向量a的向量组，当a=0时是线性相关的，当a≠0时是线性无关的。 对于含2个向量\(a\_1， a\_2\)的向量组，它线性相关的充分必要条件是\(a\_1， a\_2\)的分量对应成比例，其几何意义是两向量共线. 3个向量线性相关的几何意义是三向量共面（注：三向量共面还可以用混合积判断）

方程组的线性相关概念

向量组的线性相关与线性无关的概念也可移用于线性方程组。 当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，这时称方程组（各个方程）是线性相关的； 当方程组中没有多余方程，就称该方程组（各个方程）线性无关（或线性独立）

向量组线性相关\(\\Leftrightarrow\)\(A x=0\)有非零解\(\\Leftrightarrow\)矩阵的秩小于向量个数

向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 构成矩阵 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\\right),\) 向量组 \(A\) 线性相关，就是齐次线性方程组\(x\_{1} a\_{1}+x\_{2} a\_{2}+\\cdots+x\_{m} a\_{m}=0,\) 即 \(A x=0\)有非零解

定理： 向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 线 性相关\(\\Leftrightarrow\)向量组构成的矩阵 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\\right)\) 的秩小于向量个数 \(m\) 向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 线 性无关\(\\Leftrightarrow\)\(R(\\boldsymbol{A})=m\)

向量组线性相关的推论

定理： 1）若向量组 \(A: a\_{1}, \\cdots, a\_{m}\) 线 性相关,则向量组 \(B: a\_{1}, \\cdots, a\_{m},\)\(a\_{m+1}\) 也线性相关. 反言之,若向量组 \(B\) 线性无关,则向量组 \(A\) 也线性无关。 2）m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时一定线性相关；特别地，n+1个n维向量一定线性相关。 3）设向量组 \(A: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 线性无关，而向量组 \(B: a\_{1}, \\cdots, a\_{m}, b\) 线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是惟一的。

向量组线性相关性的证明

有两种证法都是常用的，证明时首先是把已知条件表述成矩阵形式。

证一的关键是：按定义4把证明向量组线性无关转化为证明齐次方程没有非零解，因而去考察方程Bx=0. 证二用矩阵的秩的有关知识，以及上文关于秩的定理，从而可以不涉及线性方程而直接证得结论

向量组的秩

上两节在讨论向量组的线性组合和线性相关性时，矩阵的秩起了十分重要的作用。为使讨论进一步深入，下面把秩的概念引进向量组。

向量组的极大线性无关组

向量组的极大线性无关组的原始定义

设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 \(r\) 个向量 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r},\) 满足： 1）向量组 \(A\_{0}: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 线性无关； 2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量的话）都线性相关。 那么称向量组\(A\_{0}\)是向量组A的一个最大/极大线性无关向量组（简称最大无关组）。

向量组的极大线性无关组的第二种定义

设有向量组 A ,如果在 A 中能选出 \(r\) 个向量 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r},\) 满足： 1）向量组 \(A\_{0}: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 线性无关； 2）向量组A中任意向量a都可由向量组 \(A\_{0}: a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 线性表示。 那么称向量组\(A\_{0}\)是向量组A的一个最大/极大线性无关向量组（简称最大无关组）；

证明： 需要证向量组 A 中任意 r + 1 个向里线性相关. 设 \(b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{r+1}\) 是 \(A\)中任意r+1个向量，由条件2）知这r+1个向量能由向量组A线性表示， 根据：[向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Rightarrow\) \(R(\\boldsymbol{B})\\le R(\\boldsymbol{A})\)](#向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Rightarrow\) \(R(\\boldsymbol{B})\\le R(\\boldsymbol{A})\))， 得\(R\\left(b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{r+1}\\right) \\leqslant R\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\\right)=r\)， 再根据：[向量组线性相关\(\\Leftrightarrow\)\(A x=0\)有非零解\(\\Leftrightarrow\)矩阵的秩小于向量个数](#向量组线性相关\(\\Leftrightarrow\)\(A x=0\)有非零解\(\\Leftrightarrow\)矩阵的秩小于向量个数)， 得：这\(r+1\) 个向量 \(b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{r+1}\) 线性相关. 即，推得了向量组极大线性无关组的原始定义。

向量组与其极大线性无关组等价

证明：

向量组A和它自己的最大无关组\(A\_0\)是等价的这是因为\(A\_0\)组是A组的个部分组，故\(A\_0\)组总能由A组线性表示（A中每个向量都能由A组表示）。 由向量组的极大线性无关组定义的条件2）知：向量组A中任意r+1个向量\(a\_{1}, \\cdots, a\_{r}, a\)都线性相关； 而 \(a\_{1}, \\cdots, a\_{r}\) 线性无关，由线性相关的推论3）可知，组内任意的向量\(a\) 能由 \(a\_{1}, \\cdots, a\_{r}\) 线性表示。 则A组能由\(A\_0\)组线性表示.

所以 A 组与\(A\_0\)组是等价的。

向量组的秩

极大/最大无关组所含向量个数r称为向量组A的秩，记作\(R\_A\). 只含零向量的向量组没有最大无关组，规定它的秩为0.

矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩

证明：（用矩阵的秩的定义、向量组线性相关的充分必要条件证明）

设 \(\\mathbf{A}=\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\\right), R(\\mathbf{A})=r,\) 并设 \(r\) 阶子式 \(D\_{r} \\neq 0 .\) 根据定理 ：[向量组线性相关\(\\Leftrightarrow\)\(A x=0\)有非零解\(\\Leftrightarrow\)矩阵的秩小于向量个数](#向量组线性相关\(\\Leftrightarrow\)\(A x=0\)有非零解\(\\Leftrightarrow\)矩阵的秩小于向量个数)， 由 \(D\_r \\neq 0\) 知 \(D\_r\), 所在的 r 列线性无关; 又由 A 中所有 r +1 阶子式均为零,知 A中任意 r + 1 个列向量都线性相关. 因此 \(D\_r\) 所在的 r 列是 A 的列向量组的一个极大线性无关组。所以列向量组的秩等于r。

类似可证矩阵 A 的行向量组的秩也等于 R（A）.

从上述证明中可见： 若\(D\_r\)是矩阵A的一个最高阶非零子式，则\(D\_r\)所在的r列即是A的列向量组的一个最大/极大无关组，\(D\_r\)所在的r行即是A的行向量组的一个最大/极大无关组。

有了以上结论：矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩， 本章在此之前涉及矩阵秩的性质： [向量b能由向量组\(A\)线性表示\(\\Leftrightarrow\) \(b=Ax\)有解\(\\Leftrightarrow\)\(R(A)=R(A,b)\)](#向量b能由向量组\(A\)线性表示\(\\Leftrightarrow\) \(b=Ax\)有解\(\\Leftrightarrow\)\(R(A)=R(A,b)\)) [向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)](#向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Leftrightarrow\) \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)) [向量组等价$\Leftrightarrow $ \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{B})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)](#向量组等价$\Leftrightarrow $ \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{B})=R(\\boldsymbol{A}, \\boldsymbol{B})\)) [向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Rightarrow\) \(R(\\boldsymbol{B})\\le R(\\boldsymbol{A})\)](#向量组$ B$ 能由向量组\(A\) 线性表示 \(\\Rightarrow\) \(R(\\boldsymbol{B})\\le R(\\boldsymbol{A})\)) 向量组线性相关的推论3） 其中出现的矩阵的秩，都可改为向量组的秩。 今后向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 的秩也记作 \(R\\left(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\\right)\)。这几条性质也不再区分矩阵的秩和向量组的秩。

扩展阅读：为什么矩阵行秩等于列秩？ 扩展阅读：秩 (线性代数) 比较阅读：向量组的秩

求矩阵的列向量组的极大线性无关组，并表示其他向量

如果矩阵\(A\_{mxn}\)与\(B\_{lxn}\)的行向量组等价（这时齐次线性方程组Ax=0与Bx=0可互推），则方程Ax=0与Bx=0同解，从而A的列向量组各向量之间与B的列向量组各向量之间有相同的线性关系。 如果B是一个行最简形矩阵，则容易看出B的列向量组各向量之间的线性关系，从而也就得到A的列向量组各向量之间的线性关系（一个向量组的这种线性关系一般很多，但只要求出这个向量组的最大无关组及不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示的表示式，有了这些，就能推知其余的线性关系）

所以对矩阵进行初等行变换，得到行阶梯/最简矩阵，确定矩阵的秩。 矩阵的秩=列向量组的秩，找对应个数的不相关列向量，作为极大线性无关组。 矩阵继续变为行最简矩阵，比较容易看出向量间的线性关系。 原矩阵的列向量之间也满足同样的线性关系。

线性方程组的解的结构

矩阵的初等变换和线性方程组章节中，我们已经介绍了用矩阵的初等变换解线性方程组的方法，并建立了两个重要定理，即 （1）n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n （2）n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的秩，且当R(A)=R(B)=n时方程组有唯一解。

本章此节，我们将用向量组线性相关性的理论来讨论线性方程组的解

齐次线性方程组解的结构

齐次线性方程组

对于齐次线性方程组（方程组形式）： \(\\left{\\begin{array}{l}a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=0 \\ a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=0 \\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\ a\_{m 1} x\_{1}+a\_{m 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{m n} x\_{n}=0\\end{array}\\right.\)

记： \(\\boldsymbol{A}=\\left\[\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{m 1} \& a\_{m 2} \& \\cdots \& a\_{m n}\\end{array}\\right\]\)，\(\\boldsymbol{x}=\\left(\\begin{array}{c}x\_{1} \\ x\_{2} \\ \\vdots \\ x\_{n}\\end{array}\\right)\) 写成方程组的向量/矩阵方程形式：\(A x=0\)

齐次方程组的解向量

\(x\_{1}=\\xi\_{11}, x\_{2}=\\xi\_{21}, \\cdots, x\_{n}=\\xi\_{n 1}\) 为上面方程组的解，则： \(x=\\xi\_{1}=\\left(\\begin{array}{c}\\xi\_{11} \\ \\xi\_{21} \\ \\vdots \\ \\xi\_{n 1}\\end{array}\\right)\) 称为方程组的解向量。 同时，它也是对应向量方程的解。

齐次方程组解的线性性质

若 \(x=\\xi\_{1}, x=\\xi\_{2}\) 为\(A x=0\) 的解 , 则 \(x=\\xi\_{1}+\\xi\_{2}\) 也是\(A x=0\)的解

证明：\(\\boldsymbol{A}\\left(\\xi\_{1}+\\xi\_{2}\\right)=A \\xi\_{1}+A \\xi\_{2}=0+0=0\)，满足\(A x=0\)

若 \(x=\\xi\_{1}\) 为\(A x=0\) 的解, \(k\) 为实数,则 \(x=k \\xi\_{1}\) 也是\(A x=0\) 的解

证明：\(\\boldsymbol{A}\\left(k \\xi\_{1}\\right)=k\\left(\\boldsymbol{A} \\xi\_{1}\\right)=k \\boldsymbol{0}=\\boldsymbol{0}\)

齐次方程组的通解与基础解系

齐次方程组的通解与基础解系概念

把方程\(A x=0\) 的全体解所组成的集合记作S， 如果能求得解集S的一个最大无关组 \(S\_{0}: \\xi\_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{l}\)，那么方程\(A x=0\)的任一解都可由极大/最大无关组\(S\_0\)线性表示； 另一方面，由齐次方程组解向量的线性性质可知，最大无关组\(S\_0\)的任何线性组合\(x=k\_{1} \\xi\_{1}+k\_{2} \\xi\_{2}+\\cdots+k\_{l} \\xi\_{l}\)都是方程\(A x=0\) 的解，因此**\(x=k\_{1} \\xi\_{1}+k\_{2} \\xi\_{2}+\\cdots+k\_{l} \\xi\_{l}\)是方程\(A x=0\) 的通解**。

方程\(A x=0\) 的解集S的极大/最大无关组 \(S\_{0}: \\xi\_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{l}\)称为该齐次线性方程组的一个基础解系。

由上面的讨论可知，要求齐次线性方程组的通解，只需求出它的基础解系。

求齐次线性方程组的基础解系

设齐次线性方程组的系数矩阵A的秩为r， 不妨设A的前r个列向量线性无关，（经同解变形/矩阵初等行变换）于是A的行最简形矩阵B为： \(\\boldsymbol{B}=\\left(\\begin{array}{cccccc}1 \& \\cdots \& 0 \& b\_{11} \& \\cdots \& b\_{1, n-r} \\ \\vdots \& \& \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ 0 \& \\cdots \& 1 \& b\_{r 1} \& \\cdots \& b\_{r, n-r} \\ 0 \& \& \& \\cdots \& \& 0 \\ \\vdots \& \& \& \& \& \\vdots \\ 0 \& \& \& \\cdots \& \& 0\\end{array}\\right)\) 与B矩阵[^1](注：\(x_1\)列可以不作为行最简形矩阵的起始列，那么就不能采用上述化系数矩阵为行最简形矩阵的“标准程序”，而要稍作变化，化为打乱列的顺序的B矩阵。)对应，即有方程组： \(\\left{\\begin{array}{l}x\_{1}=-b\_{11} x\_{r+1}-\\cdots-b\_{1, n-r} x\_{n} \\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\ x\_{r}=-b\_{r 1} x\_{r+1}-\\cdots-b\_{r, n-r} x\_{n}\\end{array}\\right.\)

我们可以先求齐次线性方程组的通解，再从通解求得基础解系：

把 \(x\_{r+1}, \\cdots, x\_{n}\) 作为自由未知数,并令它们依次等于 \(c\_{1}, \\cdots, c\_{n-r},\) 可得方程组的通解： \(\\left(\\begin{array}{c}x\_{1} \\ \\vdots \\ x\_{r} \\ x\_{r+1} \\ x\_{r+2} \\ \\vdots \\ x\_{n}\\end{array}\\right)=c\_{1}\\left\[\\begin{array}{c}-b\_{11} \\ \\vdots \\ -b\_{r 1} \\ 1 \\ 0 \\ \\vdots \\ 0\\end{array}\\right\]+c\_{2}\\left\[\\begin{array}{c}-b\_{12} \\ \\vdots \\ -b\_{r 2} \\ 0 \\ 1 \\ \\vdots \\ 0\\end{array}\\right\]+\\cdots+c\_{n-r}\\left\[\\begin{array}{c}-b\_{1 . n-r} \\ \\vdots \\ -b\_{r, n-r} \\ 0 \\ 0 \\ \\vdots \\ 1\\end{array}\\right\]\) 把上面的通解记作向量形式：\(x=c\_{1} \\xi\_{1}+c\_{2} \\xi\_{2}+\\cdots+c\_{n}-r \\xi\_{n-r}\)

可知解集S中的任一向量x能由\(\\xi\_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r}\)线性表示。 又因为矩阵\((\\xi\_{1},\\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r})\)中有 \(n-r\) 阶子式 \(\\left|\\boldsymbol{E}_{n-r}\\right| \\neq 0\) 故 \(R\\left(\\xi_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r}\\right)=n-r\)，（向量组的秩等于向量个数），所以\(\\xi\_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-}\)线性无关。 根据最大无关组的等价定义,即知 \(\\xi\_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r}\) 是解集S的最大无关组，即**\(\\xi\_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r}\) 是方程组的基础解系**。

我们也可先求基础解系，再写出通解：

对于自由未知数 \(x\_{r+1}, x\_{r+2}, \\cdots, x\_{n}\) ，取下列 \(n-r\) 组数： \(\\left(\\begin{array}{c}x\_{r+1} \\ x\_{r+2} \\ \\vdots \\ x\_{n}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \\vdots \\ 0\\end{array}\\right) \\cdot\\left(\\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \\vdots \\ 0\\end{array}\\right), \\cdots,\\left(\\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \\vdots \\ 1\\end{array}\\right)\) 根据上文与B对应的方程组，有： \(\\left(\\begin{array}{c}x\_{1} \\ \\vdots \\ x\_{r}\\end{array}\\right)=\\left(\\begin{array}{c}-b\_{11} \\ \\vdots \\ -b\_{r 1}\\end{array}\\right),\\left(\\begin{array}{c}-b\_{12} \\ \\vdots \\ -b\_{r 2}\\end{array}\\right), \\cdots,\\left(\\begin{array}{c}-b\_{1, n-r} \\ \\vdots \\ -b\_{r, n-r}\\end{array}\\right)\) 合起来就是基础解系： \(\\xi\_{1}=\\left(\\begin{array}{c}-b\_{11} \\ \\vdots \\ -b\_{r 1} \\ 1 \\ 0 \\ \\vdots \\ 0\\end{array}\\right), \\xi\_{2}=\\left(\\begin{array}{c}-b\_{12} \\ \\vdots \\ -b\_{r 2} \\ 0 \\ 1 \\ \\vdots \\ 0\\end{array}\\right), \\cdots, \\xi\_{n-r}=\\left(\\begin{array}{c}-b\_{1, n-r} \\ \\vdots \\ -b\_{r, n-r} \\ 0 \\ 0 \\ \\vdots \\ 1\\end{array}\\right)\)

\(n\) 元齐次线性方程组 \(A x=0\) ，\(R(\\boldsymbol{A})=r\) \(\\Rightarrow\)方程组解集S的秩 \(R\_{s}=n-r\)

设 \(m \\times n\) 矩阵 \(\\boldsymbol{A}\) 的秩 \(R(\\boldsymbol{A})=r,\) 则 \(n\) 元 齐次线 性方 程组 \(\\boldsymbol{A x}=\\mathbf{0 的}\)解集 S 的秩 \(R\_{S}=n-r\)

证明： 上面求基础解系的过程中有证明： 因为矩阵\((\\xi\_{1},\\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r})\)中有 \(n-r\) 阶子式 \(\\left|\\boldsymbol{E}_{n-r}\\right| \\neq 0\) 故 \(R\\left(\\xi_{1}, \\xi\_{2}, \\cdots, \\xi\_{n-r}\\right)=n-r\)

当R（A）=n时，方程\(A x=0\) 只有零解，没有基础解系（此时解集S只含一个零向量）； 当R（A）=r<n时，由这里介绍的性质知方程组\(A x=0\) 的基础解系含n-r个向量。 因此，由最大无关组的性质可知，方程组的任何n-r个线性无关的解都可构成它的基础解系。并由此可知齐次线性方程组的基础解系并不是唯一的，它的通解的形式也不是唯一的。

齐次线性方程组 \(A x=0\)与\(B x=0\)同解\(\\Rightarrow\) \(R(A)=R(B)\)

由于\(n\)元齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有相同的解集， 又根据上一条性质，有\(R(\\boldsymbol{A})=n-R\_{s}, R(\\boldsymbol{B})=n-R\_{s}\)。因此 \(R(\\boldsymbol{A})=R(\\boldsymbol{B})\)

齐次线性方程组\(Ax=0\)与\(Bx=0\)同解\(\\Leftrightarrow\)矩阵A与B行等价\(\\Leftrightarrow\)A与B的行向量组等价

使齐次方程组\(Ax=0\)变换到与\(Bx=0\)过程中有3种同解变形：行置换、行倍加、行倍乘。 \(\\Leftrightarrow\)对应到矩阵就是矩阵的初等行变换，则矩阵A与B行等价：\(A \\overset{r}{\\sim} B\)。即\(B=PA\),其中P可逆。 \(\\Leftrightarrow\)将矩阵B和A按行分块（分别看作行向量组），即有\(\\left(\\begin{array}{c}b\_1\\ b\_2 \\ \\vdots b\_n\\end{array}\\right) = P \\left(\\begin{array}{c}a\_1\\ a\_2 \\ \\vdots a\_n\\end{array}\\right)\) 即，B组能由A组表示。 同时，P可逆，则：\(P^{-1}\\left(\\begin{array}{c}b\_1\\ b\_2 \\ \\vdots b\_n\\end{array}\\right) = \\left(\\begin{array}{c}a\_1\\ a\_2 \\ \\vdots a\_n\\end{array}\\right)\) 即，A组能由B组表示。 则A与B的行向量组等价。

若 \(\\boldsymbol{A}_{m \\times n} \\boldsymbol{B}_{n \\times l}=\\boldsymbol{O},\) 则 \(R(\\boldsymbol{A})+R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant n\)

此条性质前面已有介绍：[矩阵秩的性质八：若 \(\\boldsymbol{A}_{m \\times n} \\boldsymbol{B}_{n \\times l}=\\boldsymbol{O},\) 则 \(R(\\boldsymbol{A})+R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant n\)](./线性代数-矩阵的初等变换与线性方程组#矩阵秩的性质八：若 \(\\boldsymbol{A}_{m \\times n} \\boldsymbol{B}_{n \\times l}=\\boldsymbol{O},\) 则 \(R(\\boldsymbol{A})+R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant n\))

证明：

记 \(\\boldsymbol{B}=\\left(\\boldsymbol{b}_{1}, \\boldsymbol{b}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{b}_{l}\\right),\) 则\(\\boldsymbol{A}\\left(b_{1}, \\boldsymbol{b}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{b}_{t}\\right)=(\\boldsymbol{0}, \\boldsymbol{0}, \\cdots, \\boldsymbol{0})\) \(\\boldsymbol{A} \\boldsymbol{b}_{i}=\\mathbf{0}(i=1,2, \\cdots, l)\) 表明矩阵B的个列向量都是齐次方程Ax=0的解。 记方程Ax=0的解集为S，则由 \(b_{i} \\in S\) 即\(b\_i\)都可以用S表示，知有 \(R\\left(b\_{1}, b\_{2}, \\cdots, b\_{l}\\right) \\leqslant R\_{s},\) 即 \(R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant R\_{S}\) 又根据齐次线性方程组解的性质，有\(R(\\boldsymbol{A})+R\_{s}=n,\) 故 \(R(\\boldsymbol{A})+R(\\boldsymbol{B}) \\leqslant n\)

非齐次线性方程组解的结构

非齐次线性方程组

非齐次线性方程组（方程组形式）： \(\\left{\\begin{array}{l}a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2}+\\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=b\_{1} \\ a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=b\_{2} \\ \\cdots \\cdots \\cdots \\cdots \\ a\_{m 1} x\_{1}+a\_{m 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{m n} x\_{n}=b\_{m}\\end{array}\\right.\) 也可写作向量方程：\(A x=b\)

非齐次方程组的解向量

向量方程：\(A x=b\)的解，就是对应的非齐次线性方程组的解向量。

非齐次方程组解向量的性质

以下两条性质，总结为：叠加性质

设 \(x=\\eta\_{1}\) 及 \(x=\\eta\_{2}\) 都是\(A x=b\)的解, 则 \(x=\\eta\_{1}-\\eta\_{2}\) 为对应的齐次线性方程组\(A x=0\)的解

证明： \(A\\left(\\eta\_{1}-\\eta\_{2}\\right)=A \\eta\_{1}-A \\eta\_{2}=b-b=0\) 即 \(x=\\eta\_{1}-\\eta\_{2}\) 满足方程\(A x=0\)

设 \(x=\\eta\) 是方程\(A x=b\)的解 \(, x=\\xi\) 是方程\(A x=0\)的解, 则 \(x=\\xi+\\eta\) 仍是方程\(A x=b\)的解

证明： \(A(\\xi+\\eta)=A \\xi+A \\eta=0+b=b\) 即 \(x=\\xi+\\eta\) 满足方程\(A x=b\)

非齐次方程组的通解

由非齐次方程组解向量的性质可知，若求得非齐次方程\(A x=b\)的一个解\(\\boldsymbol{\\eta}^{*}\)，\(A x=b\)的任一解总可表示为\(x=\\xi+\\eta^*\)，\(x=\\xi\) 为齐次方程\(A x=0\)的解。

齐次方程\(A x=0\)的通解为 \(x=k\_{1} \\xi\_{1}+\\cdots+k\_{n-r} \\xi\_{n-r}\)，于是非齐次方程\(A x=b\)的任一解总可表示为\(x=k\_{1} \\xi\_{1}+\\cdots+k\_{n-r} \\xi\_{n-r}+\\eta^\*\)

对任何实数 \(k\_{1}, \\cdots, k\_{n-r},\) 上式总是非齐次方程\(A x=b\)的解，所以非齐次方程\(A x=b\)的通解为\(x=k\_{1} \\xi\_{1}+\\cdots+k\_{n-r} \\xi\_{n-r}+\\eta^{\*}\) （\(k\_{1}, \\cdots, k\_{n-r}\) 为任意实数 ），其中 \(\\xi\_{1}, \\cdots, \\xi\_{n-r}\) 是对应齐次方程\(A x=0\)的基础解系。

线性方程组的公共解

参考(superap)链接：https://www.zhihu.com/question/340362949/answer/885382762

假设有A B两个矩阵，有公共解是A的解里面有部分是可以当作B的解。而同解就是A的解就是B的解。

对于求公共解的问题有三种题型。

第一种是给出了两个方程组，依次的系数矩阵为A B，则需要对A B作联立求解，类似求非齐次的求解方法，但是非齐次是列的联立，求公共解是行的联立。

第二种题型是给出了一个方程组B，和另外的一个方程组B的通解。同样的把A的通解解出来，令两个解相等，构成了新的齐次方程组，这里的未知数是就是通解上面的k，解出k1 k2的通解在代入之前的通解即可。

第三种题型，跟第二种类似了，只是给出了两个通解，方法还是类似的。令解相等，再求解，再代入。

向量空间

点空间

几何中，“空间”通常是作为点的集合，即作为“空间”的元素是点，这样的空间叫做点空间。

[^]:

向量空间

向量空间的定义

设V为n维向量的集合，如果集合V非空，且集合V对于向量的加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合V为向量空间。 封闭：是指在集合V中可以进行向量的加法及乘数两种运算。具体地说,就是:若 \(a \\in V, b \\in V,\) 则 \(a+b \\in V ;\) 若 \(a \\in V, \\lambda \\in \\mathbb{R},\) 则 \(\\lambda a \\in V\)

三维向量空间

我们把3维向量的全体所组成的集合\(\\mathbb{R}^{3}=\\left{r=(x, y, z)^{\\top}\\mid x, y, z \\in \\mathbb{R}\\right}\)叫做三维向量空间.

在点空间取定坐标系以后,空间中的点 \(P(x, y, z)\) 与 3 维向量 \(r=(x, y, z)^{\\mathrm{T}}\) 之间有一一对应的关系。因此, 向量空间可以类比为取定了坐标系的点空间。

在讨论向量的运算时，我们把向量看作有向线段；在讨论向量集时，则把向量r看作以r为向径的点P，从而把点P的轨迹作为向量集的图形。

eg： 点集\(\\Pi={P(x, y, z) \\mid a x+b y+c z=d}\)是一个平面（a,b,c不全为0）， 于是向量集\(\\left{r=(x, y, z)^{\\mathrm{T}} \\mid a x+b y+c z=d\\right}\)也叫做向量空间\(\\mathbb{R}^{3}\)中的平面，并把Ⅱ作为它的图形

n维向量空间\(\\mathbb{R}^{n}\)

简单的说，n维向量[^2](<注：在解析几何中，我们把“既有大小又有方向的量”叫做向量，并把可随意平行移动的有向线段作为向量的几何形象。在引进坐标系以后，这种向量就有了坐标表示式——三个有次序的实数，也就是本书中的3维向量。因此，当n≤3时，n维向量可以把有向线段作为几何形象，但当n>3时，n维向量就不再有这种几何形象，只是沿用一些几何术语罢了。>)的全体所构成的集合\(\\mathbb{R}^{n}\)就是n维向量空间。

后面介绍过空间向量的基之后，给出n维向量空间的严谨定义。

齐次线性方程组的解空间

齐次线性方程组的解集\(S={x|A x=0}\)是一个向量空间（称为齐次线性方程组的解空间）。

证明：由齐次线性方程组的解的性质得，其解集S对向量的线性运算封闭。

注：非齐次线性方程组的解集不是向量空间[^3]。 [^3]: 设当非齐次线性方程组的解集\(S={x|A x=b}\),当S为空时，空集不是向量空间；当S不为空时，设\(\\boldsymbol{\\eta} \\in S,\) 则\(A(2 \\eta)=2 b \\neq b,\) 知 \(2 \\eta \\notin S\)，其解集S对数乘不封闭。同理也可知其解集对加法也不封闭。 由后面向量空间的基与对应的r维向量空间可知，向量空间可看作向量组，则齐次线性方程组解空间的基=解集的极大线性无关组=方程组的基础解系。

向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 生成的向量空间

向量组生成的向量空间

向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{m}\) 所生成的向量空间为\(L=\\left{x=\\lambda\_{1} a\_{1}+\\lambda\_{2} a\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{m} a\_{m} \\mid \\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{m} \\in \\mathbb{R}\\right}\)

（易证此集对加法和数乘封闭，即此集为向量空间）

两个向量组等价\(\\Rightarrow\)各自生成的向量空间相等

证明：

设向量组 \(a\_{1}, \\cdots, a\_{m}\) 与向量组 \(b\_{1}, \\cdots, b,\) 等价， 记： \(L\_{1}=\\left{x=\\lambda\_{1} a\_{1}+\\cdots+\\lambda\_{m} a\_{m}\\left|\\lambda\_{1}, \\cdots, \\lambda\_{m} \\in \\mathbb{R}\\right}\\right.\) \(L\_{2}=\\left{x=\\mu\_{1} b\_{1}+\\cdots+\\mu\_{s} b\_{s} \\mid \\mu\_{1}, \\cdots, \\mu\_{s} \\in \\mathbb{R}\\right}\)

设 \(x \\in L\_{1},\) 则 \(x\) 可由 \(a\_{1}, \\cdots, a\_{m}\) 线性表示.因 \(a\_{1}, \\cdots, a\_{m}\) 可 由 \(b\_{1}, \\cdots, b\_{s}\)线性表示，故 \(x\) 可由 \(b\_{1}, \\cdots, b\_{s}\) 线性表示,所以 \(x \\in L\_{2} .\) 这就是说,若 \(x \\in L\_{1},\) 则 \(x\\in L\_{2},\) 因此 \(L\_{1} \\subset L\_{2}\)

类似地可证:若 \(x \\in L\_{2},\) 则 \(x \\in L\_{1},\) 因此 \(L\_{2} \\subset L\_{1}\)

因为 \(L\_{1} \\subset L\_{2}, L\_{2} \\subset L\_{1},\) 所以 \(L\_{1}=L\_{2}\)

向量空间的基与对应的r维向量空间

空间向量的基的定义

设 V 为向量空间,如果 \(r\) 个向量 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r} \\in V,\) 且满足： 1）\(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 线性无关； 2）\(V\) 中任一向量都可由 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 线性表示； 那么, 向量组 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 就称为向量空间 V 的一个基。 r 称为向量空间 V 的维数。 并称 V 为 r 维向量空间。

向量空间V可看作向量组

向量空间V的基就是向量组的最大无关组

可把向量空间V看作向量组，那么向量空间V的基的定义与向量组最大无关组的第二种定义完全相同。 向量空间V的基就是向量组的最大无关组，向量空间V的维数就是向量组的秩。

求向量空间的基，可以转化为求向量组的最大无关组。

由向量组的最大无关组不唯一可知，向量空间的基也不唯一。

向量空间V选定基之后，向量空间中任意向量都可以用坐标表示

向量空间V选定基 \(\\Leftrightarrow\)向量组选定极大线性无关组 \(\\Leftrightarrow\)向量组中任意向量都可以用极大线性无关组唯一表示 \(\\Leftrightarrow\)向量空间中任意向量都可以用基唯一表示

设向量空间V选定的基为\(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}\_{r}\)，任意向量x都可以用基\(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\cdots, \\boldsymbol{a}_{r}\)唯一表示为\(x=\\lambda_{1} a\_{1}+\\lambda\_{2} a\_{2}+\\cdots+\\lambda\_{r} a\_{r}\)，把数组\(\\lambda\_{1}, \\lambda\_{2}, \\cdots, \\lambda\_{r}\)，称为向量 x 在基 \(a\_{1}, a\_{2}, \\cdots, a\_{r}\) 中的坐标。

特别地，在n维向量空间\(\\mathbb{R}^{n}\)中取单位坐标向量组 \(e\_{1}, e\_{2}, \\cdots, e\_{n}\) 为基,则以\(x\_{1}, x\_{2}, \\cdots, x\_{n}\) 为分量的向量 \(x,\) 可表示为\(x=x\_{1} e\_{1}+x\_{2} e\_{2}+\\cdots+x\_{n} e\_{n}\)。可见向量在基 \(e\_{1}, e\_{2}, \\cdots, e\_{n}\) 中的坐标就是该向量的分量.因此, \(e\_{1}, e\_{2}, \\cdots, e\_{n}\) 叫\(\\mathbb{R}^{n}\)中的自然基。

基变换与坐标变换

以\(\\mathbb{R}^{3}\)空间为例， 假设原来的基\(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\boldsymbol{a}_{3}\)，新的基\(b_{1}, b\_{2}, b\_{3}\)。

基变换

即用原来的基\(\\boldsymbol{a}_{1}, \\boldsymbol{a}_{2}, \\boldsymbol{a}_{3}\)表示新的基\(b_{1}, b\_{2}, b\_{3}\)。

方法一：以自然基为媒介变换

设 \(\\boldsymbol{A}=\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right), B=\\left(b\_{1}, b\_{2}, b\_{3}\\right)\) 用自然基表示A：\(\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right)=\\left(e\_{1}, e\_{2}, e\_{3}\\right) A\)， 则自然基为：\(\\left(e\_{1}, e\_{2}, e\_{3}\\right)=\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right) A^{-1}\) 用自然基表示B：\(\\left(b\_{1}, b\_{2}, b\_{3}\\right)=\\left(e\_{1}, e\_{2}, e\_{3}\\right) B=\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right) A^{-1} B\)

记\(P=A^{-1} B\)，则\(\\left(b\_{1}, b\_{2}, b\_{3}\\right)=\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right) P\)，这里的P称为过渡矩阵。

方法二：矩阵乘法

\(b\_{1}=\\left(a, a\_{2}, a\_{3}\\right)\\left(\\begin{array}{l}x\_{11} \\ x\_{21} \\ x\_{31}\\end{array}\\right)\)

\(b\_{2}=\\left(a, a\_{2}, a\_{3}\\right)\\left(\\begin{array}{l}x\_{12} \\ x\_{22} \\ x\_{32}\\end{array}\\right)\)

\(b\_{3}=\\left(a, a\_{2}, a\_{3}\\right)\\left(\\begin{array}{l}x\_{13} \\ x\_{23} \\ x\_{33}\\end{array}\\right)\)

\(\\left(b\_{1}, b\_{2}, b\_{3}\\right)=\\left(a, a\_{2}, a\_{3}\\right)\\left\[\\begin{array}{lll}x\_{11} \& x\_{22} \& x\_{13} \\ x\_{11} \& x\_{22} \& x\_{23} \\ x\_{31} \& x\_{32} \& x\_{33}\\end{array}\\right\]\)

记\(P=\\left\[\\begin{array}{lll}x\_{11} \& x\_{22} \& x\_{13} \\ x\_{11} \& x\_{22} \& x\_{23} \\ x\_{31} \& x\_{32} \& x\_{33}\\end{array}\\right\]\)，同样有\(P=A^{-1} B\)，则\(\\left(b\_{1}, b\_{2}, b\_{3}\\right)=\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right) P\)，这里的P称为过渡矩阵。

坐标变换

设向量 x 在旧基和新基中的坐标分别为 \(y\_{1}, y\_{2}, y\_{3}\) 和 \(z\_{1}, z\_{2}, z\_{3},\) 即： \(x=\\left(a\_{1}, a\_{2}, a\_{3}\\right)\\left(\\begin{array}{l}y\_{1} \\ y\_{2} \\ y\_{3}\\end{array}\\right)\)，\(x=\\left(b\_{1}, b\_{2}, b\_{3}\\right)\\left(\\begin{array}{l}z\_{1} \\ z\_{2} \\ z\_{3}\\end{array}\\right)\) 故： \(\\boldsymbol{A}\\left\[\\begin{array}{l}y\_{1} \\ y\_{2} \\ y\_{3}\\end{array}\\right\]=\\boldsymbol{B}\\left\[\\begin{array}{l}z\_{1} \\ z\_{2} \\ z\_{3}\\end{array}\\right\]\) 得： \(\\left\[\\begin{array}{l}z\_{1} \\ z\_{2} \\ z\_{3}\\end{array}\\right\]=\\boldsymbol{B}^{-1} \\boldsymbol{A}\\left\[\\begin{array}{l}y\_{1} \\ y\_{2} \\ y\_{3}\\end{array}\\right\]\) 即： \(\\left(\\begin{array}{l}z\_{1} \\ z\_{2} \\ z\_{3}\\end{array}\\right)=\\boldsymbol{P}^{-1}\\left(\\begin{array}{l}y\_{1} \\ y\_{2} \\ y\_{3}\\end{array}\\right)\) 这就是从旧坐标到新坐标的坐标变换公式