高等数学-多元微积分概述

参考：维基百科：多元微积分 参考：维基百科：向量分析

多元函数

多元函数是指定义域为\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{n}\)或其一部分，值域为\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R}\)或\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{m}\)}的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成\(\\displaystyle m\)个定义在\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{n}\)上，值域是$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \(的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即[*n*元组](https://zh.wikipedia.org/wiki/多元组)\)\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\(）对应唯一一个值域中的元素，记为\)\displaystyle f(x)\(或\)\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$，如下所示：

\(\\displaystyle f\\colon {\\begin{array}{rcl}E\&\\longrightarrow \&F(x\_{1},\\ldots ,x\_{n})\&\\longmapsto \&f(x\_{1},\\ldots ,x\_{n})\\end{array}}\)

如果线性空间\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{n}\)和\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{m}\)上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为值域是\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{m}\)的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是$\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} $的函数。比如，这种函数的导数存在的话，就称为原来多元函数的偏导数。

多元函数的分析

数学分析中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入线性代数中的概念。

极限与连续性

主条目：函数极限和连续函数

设\(\\displaystyle E\)是\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{n}\)中的一个开集，\(\\displaystyle f\)是定义在\(\\displaystyle E\)上的函数。给\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{n}\)赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对\(\\displaystyle E\)中的每个点\(\\displaystyle a\)，\(\\displaystyle f\)在\(\\displaystyle a\)处连续当且仅当

在多元微积分领域，对函数极限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元标量函数，当\(\\displaystyle x\)，\(\\displaystyle y\)沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。[1]:19-22例如，函数

沿任何直线 \(\\displaystyle y=kx\) 趋近于原点 \(\\displaystyle (0,0)\) 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿抛物线 \(\\displaystyle y=x^{2}\) 趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。

每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:[1]:17-19 例如, 含有两个变量的实数函数 \(\\displaystyle f(x,y)\)，对于每一个固定的 \(\\displaystyle y\) ， \(\\displaystyle f\) 关于 \(\\displaystyle x\) 的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的 \(\\displaystyle x\) ， \(\\displaystyle f\) 关于 \(\\displaystyle y\) 的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。

很容易验证，在实数域中，定义函数： \(\\displaystyle f\_{y}(x):=f(x,y)\)，则对于每一个固定的 \(\\displaystyle y\) ，\(\\displaystyle f\_{y}(x)\) 在 $\displaystyle \mathbb {R} $ 上连续。同理，函数\(\\displaystyle f\_{x}\) 也是关于 \(\\displaystyle y\) 的连续函数。然而，函数 \(\\displaystyle f\) 在原点是不连续的。 考虑序列 \(\\displaystyle f\\left({\\frac {1}{n}},{\\frac {1}{n}}\\right)\) ( \(\\displaystyle n\) 为自然数)，若在原点连续其结果应为 \(\\displaystyle f(0,0)=0\) 。然而，通过计算知其在原点的极限为 \(\\displaystyle \\lim \_{n\\to \\infty }f\\left({\\frac {1}{n}},{\\frac {1}{n}}\\right)=1.\)。 因此， \(\\displaystyle f\) 在原点不连续。

偏导数

主条目：偏导数

偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。[1]:26ff

偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子($\displaystyle \nabla $)依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的线性映射。

含有偏导数的微分方程称为偏微分方程或“PDE”。这些方程较只含有一个变量的常微分方程更难解出。[1]:654ff

重积分

主条目：重积分

重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。富比尼定理给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。[1]:367ff

可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等流形上进行积分。

多元微积分基本定理

在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：[1]:543ff

• 梯度定理
• 斯托克斯定理
• 高斯散度定理
• 格林公式.

在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。

多元微积分基本定理将微积分基本定理拓展到了更高维度：

定理	表示	注解
梯度定理	\(\\displaystyle \\int \_{L\[\\mathbf {p} \\to \\mathbf {q} \]\\subset \\mathbb {R} ^{n}}\\nabla \\varphi \\cdot d\\mathbf {r} =\\varphi \\left(\\mathbf {q} \\right)-\\varphi \\left(\\mathbf {p} \\right)\)	梯度（向量）场中的曲线积分与它的标量场中两个端点的差。
格林定理	\(\\displaystyle \\int !!!!\\int \_{A,\\subset \\mathbb {R} ^{2}}\\left({\\frac {\\partial M}{\\partial x}}-{\\frac {\\partial L}{\\partial y}}\\right),d\\mathbf {A} =\\oint \_{\\partial A}\\left(L,dx+M,dy\\right)\)	平面内向量场中区域的标量旋度，等于向量场沿逆时针方向的封闭曲线的线积分。
斯托克斯定理	$\displaystyle \int !!!!\int _{\Sigma ,\subset \mathbb {R} ^{3}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} $	\(\\displaystyle \\mathbb {R} ^{3}\) 内向量场的旋度的曲面积分，等于向量场在曲面边界上的线积分。
高斯散度定理	\(\\displaystyle \\int !!!!\\int !!!!\\int \_{V,\\subset \\mathbb {R} ^{3}}\\left(\\nabla \\cdot \\mathbf {F} \\right)d\\mathbf {V} =\)$\displaystyle \oiint \[\\displaystyle \\scriptstyle \\partial V\]\displaystyle \mathbf {F} ;\cdot {d}\mathbf {S} $	向量场的散度对体积的积分，等于穿过包围体积的闭曲面通量的积分。

向量分析

主条目：向量分析

向量分析研究欧式空间中足够光滑的标量和矢量场，即欧式空间\(\\displaystyle E\)中的一个开集到 $\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} \(和\)\displaystyle E$的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支微分几何里的内容。

不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的\(\\displaystyle E\)常限制为\(\\displaystyle \\scriptstyle \\mathbb {R} ^{3}\)，即通常的三维空间。在这种语境下，矢量场给空间中的每个点赋予一个带有三个实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是流体力学、气象学、静电学、电动力学和地球物理学的基本工具。

向量运算

代数运算

主条目：向量

向量分析中的基本代数（非微分）的运算称为向量代数，定义在一向量空间，然后应用到整个向量场，包括：

• 标量乘法

  标量场和向量场相乘，产生向量场：$\displaystyle a\mathbf {v} $ ;

• 向量加法

  两个向量场相加，产生向量场：\(\\displaystyle \\mathbf {v} \_{1}+\\mathbf {v} \_{2}\) ;

• 内积

  两个向量场相乘，产生标量场：\(\\displaystyle \\mathbf {v} \_{1}\\cdot \\mathbf {v} \_{2}\) ;

• 外积

  两个向量场相乘，产生向量场：\(\\displaystyle \\mathbf {v} \_{1}\\times \\mathbf {v} \_{2}\) ;

还有两个三重积：

• 标量三重积

  向量和两个向量叉积的点积： \(\\displaystyle \\mathbf {v} \_{1}\\cdot \\left(\\mathbf {v} \_{2}\\times \\mathbf {v} \_{3}\\right)\) ;

• 向量三重积

  向量和两个向量叉积的叉积： \(\\displaystyle \\mathbf {v} \_{1}\\times \\left(\\mathbf {v} \_{2}\\times \\mathbf {v} \_{3}\\right)\) 或 \(\\displaystyle \\left(\\mathbf {v} \_{3}\\times \\mathbf {v} \_{2}\\right)\\times \\mathbf {v} \_{1}\) ;

尽管三重积不常作为基本运算，不过仍可以用内积及外积表示。

微分运算

主条目：梯度、旋度、散度和拉普拉斯算子

向量分析研究定义在标量场或向量场定义的不同微分算子，通常用的向量算子（∇）来表示，也被称为“Nabla算子”。向量分析的五个最重要的微分运算：

算子	表示	叙述	界域
梯度	\(\\displaystyle \\operatorname {grad} (f)=\\nabla f\)	标量场 \(\\displaystyle f\) 于场中某点增加率最大的速率与方向	标量场的梯度是向量场
散度	\(\\displaystyle \\operatorname {div} ({\\vec {F}})=\\nabla \\cdot {\\vec {F}}\)	向量场 \(\\displaystyle {\\vec {F}}\) 于场中某点附近发散或汇聚的程度	向量场的散度是标量场
旋度	\(\\displaystyle \\operatorname {curl} ({\\vec {F}})=\\nabla \\times {\\vec {F}}\)	向量场 \(\\displaystyle {\\vec {F}}\) 于场中某点附近旋转的程度	向量场的旋度是向量场
向量拉普拉斯算子	\(\\displaystyle \\nabla ^{2}\\mathbf {F} =\\nabla (\\nabla \\cdot \\mathbf {F} )-\\nabla \\times (\\nabla \\times \\mathbf {F} )\)	均值在无穷小的球内向量场的值不同的程度	向量场的向量拉普拉斯是向量场
拉普拉斯算子	\(\\displaystyle \\Delta f=\\nabla ^{2}f=\\nabla \\cdot \\nabla f\)	对标量场 \(\\displaystyle f\) 作梯度运算后，再作散度运算	标量场的拉普拉斯是标量场

多元微积分的应用

这里根据定义域和值域的不同，进行划分

对象	图示	定义域和值域	适用运算
曲线		\(\\displaystyle f:\\mathbb {R} \\to \\mathbb {R} ^{n}\)for \(\\displaystyle n\>1\)	曲线长度,曲线积分,曲线曲率.
曲面		\(\\displaystyle f:\\mathbb {R} ^{2}\\to \\mathbb {R} ^{n}\)for \(\\displaystyle n\>2\)	表面积,曲面积分,通量,曲面曲率.
标量场		$\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} $	极大值和极小值,拉格朗日乘数,方向导数.
向量场		\(\\displaystyle f:\\mathbb {R} ^{m}\\to \\mathbb {R} ^{n}\)	有关向量分析的运算,包括梯度,散度,旋度.