高等数学-向量代数与空间解析几何

这里先引进向量的概念,根据向量的线性运算建立空间坐标系,然后利用坐标讨论向量的运算；并介绍空间解析几何的有关内容。

在平面解析几何中,通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来,从而可以用代数方法来研究几何问题. 空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的.通过坐标法把空间中的点与一对有次序的数对应起来，把空间里的图形和方程对应起来,从而可以用代数方法来研究几何问题.

向量及向量代数理论

向量的基本概念与定义（几何刻画）

向量/矢量：有大小、有方向的量。分为自由向量与非自由向量。数学中研究自由向量。z 向量的表示：一般用带方向的线段表示。一般记为\(\\boldsymbol a, \\vec{a}, \\vec{AB}\)

自由向量：与起点位置无关的向量。数学研究自由向量（而速度等物理量，和位置有关，不属于自由向量）

向量相等：如果两个向量\(\\vec{a}\)与\(\\vec{b}\)大小相等、且方向相同，称这两个向量相等。

向量的模：向量的大小叫做向量的模。向量\(\\vec{AB} , a\) 和 \(\\vec{a}\) 的模依次记作 \(|\\overrightarrow{A B}|,|\\boldsymbol a|\) 和 \(|\\vec{a}|\)

单位向量：模为1的向量称为单位向量。

向量的夹角：设有两个非零向置 \(a, b,\) 任取空间一点 \(O,\)作 \(\\overline{O A}=a, \\overline{O B}=b,\) 规定不超过 \(\\pi\) 的 \(\\angle A O B\) ( 设 \(\\varphi=\\angle A O B, 0 \\leqslant \\varphi \\leqslant \\pi)\) 称为向量 \(a\) 与 \(b\) 的夹角。记作 \(\\hat{(\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b})}\) 或 \(\\hat{(\\boldsymbol{b}, \\boldsymbol{a})},\) 即 \(\\hat{(\\boldsymbol{a}, \\boldsymbol{b})}=\\varphi\)

向量共线/向量平行：若两个向量的起点放到一起时，当它们的终点和公共起点在一条直线上，称这两个向量共线。两平行向量一定共线，两向量共线也一定平行，两个概念等同。

向量共面：设有\(k(k\\ge 3)\)个向量，当它们的起点放在一起时，如果k个终点和它们的公共起点在同一平面上，就称这k个向量共面。

而选取基矢，得到坐标系后，利用坐标表示这些概念的方法，在后文介绍。

向量的线性运算与性质（几何刻画）

此节介绍向量线性运算的概念、定义以及性质； 而选取基矢，确定坐标系后，利用坐标作向量的线性运算的方法，在后面介绍。

向量的加法

向量相加的三角形法则：设有两个向量 \(\\boldsymbol{a}\) 与 \(\\boldsymbol{b},\) 任取一点 \(A,\) 作 \(\\overrightarrow{A B}=a,\) 月以 \(B\) 为起点, 作 \(\\overrightarrow{B C}=b\), 连接 \(A C\), 那么向量 \(\\overrightarrow{A C}=c\) 称为向母 \(a\) 与 \(b\) 的和，记作\(\\vec{c}=\\vec{a}+\\vec{b}\)

向量相加的平行四边形法则：当向量 \(\\vec{a}\) 与 \(\\vec{b}\) 不平行时,作 \(\\overrightarrow{A B}=\\vec{a}\),\(\\overrightarrow{A D}=\\boldsymbol{b},\) 以 \(A B, A D\) 为边作一平行四边形 \(A B C D,\) 连接对角线 \(A C\)即等于向量 \(\\vec{a}\) 与 \(\\vec{b}\) 的和 \(\\vec{a}+\\vec{b} .\)

向量的减法

设\(\\vec{ a}\) 为一向量,与 \(\\vec{a}\) 的模相同而方向相反的向量叫做 \(\\vec{a}\) 的负向量。记作 \(-\\vec{a}\)

规定向量\(\\vec{b}\) 与 \(\\vec{a}\) 的差：\(b-a=b+(-a)\).则我们可以借助向量的加法来计算减法。

向量加减法性质

任给向量\(\\vec{AB}\)及点O，有\(\\overrightarrow{A B}=\\overrightarrow{A O}+\\overrightarrow{O B}=\\overrightarrow{O B}-\\overrightarrow{O A},\)

\(\\vec{a}-\\vec{a}=\\vec{a}+(-\\vec{a})=0\)

由三角形两边之和大于第三边，有\(|a+b| \\leqslant|a|+|b|\)及\(|a-b| \\leqslant|a|+|b|\)

向量与数的乘法（数乘）概念

向量\(\\vec{a}\) 与实数 \(\\lambda\) 的乘积记作 \(\\lambda \\vec{a},\) 规定 \(\\lambda \\vec{a}\) 是一个向量,它的模\(|\\lambda a|=|\\lambda||a|\)， 它的方向当 \(\\lambda\>0\) 时与 \(a\) 相同, 当 \(\\lambda\<0\) 时与 \(a\) 相反. 当 \(\\lambda=0\) 时, \(|\\lambda \\vec{a}|=0,\) 即 \(\\lambda \\vec{a}\) 为零向量,这时它的方向可以是任意的.

特别的，当 \(\\lambda=\\pm 1\) 时,有\(1 \\vec{a}=\\vec{a},(-1) \\vec{a}=-\\vec{a}\)

向量数乘的性质

结合律

\(\\lambda(\\mu \\vec{a})=\\mu(\\lambda \\vec{a})=(\\lambda \\mu) \\vec{a}\)

分配律

\((\\lambda+\\mu) \\vec{a}=\\lambda \\vec{a}+\\mu \\vec{a}\) \(\\lambda(\\vec{a}+\\vec{b})=\\lambda \\vec{a}+\\lambda \\vec{b}\)

\(\\boldsymbol{a}=|\\boldsymbol{a}| \\boldsymbol{{e}_{n}}, \\quad \\frac{\\boldsymbol{a}}{|\\boldsymbol{a}|}= \\boldsymbol{{e}_{n}}\)

向量平行的充分必要条件

设向量 \(\\vec{a} \\neq 0,\) 则向量 \(\\vec{b}\) 平行于 \(\\vec{a}\) 的充分必要条件是 :存在唯一的实数\(\\lambda,\) 使 \(\\vec{b}=\\lambda \\vec{a}\)

向量的坐标表示（代数刻画）

数轴上的点与向量坐标一一对应

给定一个点，一个方向及单位长度，就确定了一条数轴。

设点 O 及单位向量 \(\\boldsymbol i\) 确定了数轴 Ox。 对于轴上任一点 P, 对应一个向\(\\overrightarrow{OP}\)，根据向量平行的充分必要条件，必存在唯一的实数x，使得\(\\overrightarrow{O P}=x \\boldsymbol i\)，并知\(\\vec{OP}\)和x一一对应。 即：点 \(P \\longleftrightarrow\) 向量 \(\\overrightarrow{O P}=x \\boldsymbol i \\longleftrightarrow\) 实数 \(x\) 即：轴上的点P与实数x有一一对应的关系，据此定义x为轴上点P的坐标。 则，轴上点P坐标为x\(\\quad\\Leftrightarrow \\quad\\overrightarrow{O P}=x \\boldsymbol i\)

需要注意的是x既是点P的坐标，又是向量\(\\vec{OP}\)的坐标，点和向量是两个不同的概念，上下文中要注意区分。

数轴（一维坐标系）

在1维数轴上，可以选定一个方向为数轴正向的矢量（向量），作为基本矢量/基矢。 比如\(\\vec{AB} = (4-1)\\vec{e} = 3\\vec{e}\)，其中3称为\(\\vec{AB}\)的坐标。 一般情况下，有\(\\vec{AB} = (x\_2-x\_1)\\vec{e}\)

二维坐标系以及平面直角坐标系

在二维平面上，可以选定某原点O，以及两个不同方向/不共线/不平行的单位矢量\(\\boldsymbol i, \\boldsymbol j\)（基本矢量/单位向量），分别确定两条数轴。

根据向量的加法，平面内的任意向量\(\\vec{AB}\)都可以平移到原点位置，并分解到基矢的两个数轴方向上$\vec{AB} = \vec{A_1 B_1} + \vec{A_2 B_2} \(； 根据[向量平行的充分必要条件](#向量平行的充分必要条件)有\)\vec{A_1 B_1} = \lambda_1 \boldsymbol i,\quad \vec{A_2 B_2} = \lambda_2 \boldsymbol j \(, 则\)\vec{AB} = \lambda_1 \boldsymbol i + \lambda_2 \boldsymbol j $ 即二维平面中的任何向量都可以由两个基矢线性表示。 \((\\lambda\_1, \\lambda\_2)\)称为平面向量\(\\vec{AB}\)在以单位向量\(\\boldsymbol i, \\boldsymbol j\)确定的坐标轴（数轴）上的坐标。 二维平面中的所有向量对应的坐标，形成平面坐标系

特别的，可以以二维平面中的两个互相垂直的单位向量\(\\boldsymbol i, \\boldsymbol j\)确定坐标轴，来表示平面中的任意向量。此时平面中的所有向量的坐标称为平面直角坐标系。

一般情况下，在以单位向量\(\\boldsymbol i, \\boldsymbol j\)分别确定的坐标轴形成的平面坐标系中，若平面中两点\(A(x\_1,y\_1), B(x\_2,y\_2)\)，则平面向量\(\\vec{AB} = \\vec{A\_1 B\_1} + \\vec{A\_2 B\_2} = (x\_2 – x\_1) \\vec{i} + (y\_2-y\_1)\\vec{j}\)，即将\(\\vec{AB}\)的平移\((-x\_1, -y\_1)\)到原点位置，得平面向量\(AB\)的坐标\((x\_2-x\_1, y\_2-y\_1)\)。

需要注意的是平面中坐标为\((x,y)\)的点P，向量\(\\vec{OP}\)的坐标也是\((x,y)\)，点和向量是两个不同的概念，上下文中要注意区分。

三维坐标系以及空间直角坐标系

在三维空间中，可以选定三个不共面的矢量（向量）\(\\boldsymbol i , \\boldsymbol j, \\boldsymbol k\)，作为基本矢量/基矢，以这三个基本矢量，可以分别确定一条数轴。类比二维的情况，根据向量的线性运算（加法与数乘），空间中的任意向量都可用这三个基本矢量\(\\boldsymbol i , \\boldsymbol j, \\boldsymbol k\)线性表示。 即\(\\vec{AB} = \\lambda\_1 \\boldsymbol i + \\lambda\_2 \\boldsymbol j + \\lambda\_3 \\boldsymbol k\)， 而\((\\lambda\_1, \\lambda\_2, \\lambda\_3)\)称为向量\(\\vec{AB}\)在以单位向量\(\\boldsymbol i , \\boldsymbol j, \\boldsymbol k\)确立的坐标轴（数轴）上的坐标。 三维空间中的所有向量对应的坐标，形成空间坐标系

特别的，可以以三维空间中的三个不共线的单位向量\(\\boldsymbol i, \\boldsymbol j\)确定坐标轴，来表示空间中的任意向量。此时空间中的所有向量的坐标，称为空间直角坐标系。

一般情况下，空间中的任意两点\(A(x\_1,y\_1,z\_1), B(x\_2,y\_2,z\_2)\),都可形成向量\(\\vec{AB}\)。通过将向量平移\((-x\_1,-y\_1,-z\_1)\)到原点，有\(\\vec{AB} = \\vec{A\_1 B\_1} + \\vec{A\_2 B\_2} + \\vec{A\_3 B\_3} = (x\_2 – x\_1) \\vec{i} + (y\_2-y\_1)\\vec{j} + (z\_2-z\_1)\\vec{k}\)，得到向量的坐标表示\((x\_2-x\_1, y\_2-y\_1,z\_2-z\_1)\)

需要注意的是空间中坐标为\((x,y，z)\)的点P，向量\(\\vec{OP}\)的坐标也是\((x,y,z)\)，点和向量是两个不同的概念，上下文中要注意区分。

向量的线性运算与性质（代数刻画，利用坐标）

设两个向量\(\\boldsymbol{a}=\\left(a\_{x}, a\_{y}, a\_{z}\\right), \\boldsymbol{b}=\\left(b\_{x}, b\_{y}, b\_{z}\\right)\),即\(a=a\_{x} \\boldsymbol i+a\_y \\boldsymbol j+a\_{z} \\boldsymbol k, b=b\_{x} \\boldsymbol i+b\_{y} \\boldsymbol j+b\_{z} \\boldsymbol k\)

向量的加法（利用坐标运算）

\(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b}=\\left(a\_{x}+b\_{x}\\right) \\boldsymbol{i}+\\left(\\boldsymbol{a},+b\_{y}\\right) \\boldsymbol{j}+\\left(a\_{z}+b\_{z}\\right) \\boldsymbol{k}\) 即\(a+b=\\left(a\_{x}+b\_{x}, a\_{y}+b\_{y}, a\_{z}+b\_{z}\\right)\)

向量的减法（利用坐标运算）

\(\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}=\\left(a\_{x}-b\_{x}\\right) \\boldsymbol{i}+\\left(a\_{y}-b\_{y}\\right) \\boldsymbol{j}+\\left(a\_{z}-b\_{z}\\right) \\boldsymbol{k}\)

即\(\\boldsymbol{a}-\\boldsymbol{b}=\\left(a\_{x}-b\_{x}, a\_{y}-b\_{y},, a\_{z}-b\_{z}\\right)\)

向量的数乘（利用坐标运算）

\(\\lambda \\boldsymbol{a}=\\left(\\lambda a\_{x}\\right) \\boldsymbol{i}+\\left(\\lambda a\_{y}\\right) \\boldsymbol{j}+\\left(\\lambda \\boldsymbol{a}\_{z}\\right) \\boldsymbol{k} \\quad(\\lambda\) 为实数 \()\)

即\(\\lambda \\boldsymbol{a}=\\left(\\lambda a\_{x}, \\lambda a\_{y}, \\lambda a\_{z}\\right)\)

向量平行的充分必要条件（坐标表示）

当向量 \(\\boldsymbol a \\neq \\boldsymbol 0\) 时，向量 \(\\boldsymbol{b} / / \\boldsymbol{a}\) 相当于 \(\\boldsymbol{b}=\\lambda \\boldsymbol{a},\) 坐标表示式为\(\\left(b\_{x}, b\_y, b\_{z}\\right)=\\lambda\\left(a\_{x}, a\_{y}, a\_{z}\\right)\)，即坐标对应成比例：\(\\frac{b\_{x}}{a\_{x}}=\\frac{b\_{y}}{a\_{y}}=\\frac{b\_{z}}{a\_{z}}\)

向量的基本概念的坐标表示（代数刻画）

向量如下基本概念的定义在前面已有介绍：向量的基本概念与定义（几何刻画）

向量的模

向量的模：向量的大小称为向量的模。 则向量端点之间的距离就是向量的模。 设有点 \(A\\left(x\_{1}, y\_{1}, z\_{1}\\right)\) 和点 \(B\\left(x\_{2}, y\_{2}, z\_{2}\\right),\) 则点 \(A\) 与点 \(B\) 间的距离 \(|A B|\) 就是向量\(\\overrightarrow{A B}\) 的模。 向量\(\\begin{aligned} \\overrightarrow{A B} \&=\\overrightarrow{O B}-\\overrightarrow{O A}=\\left(x\_{2}, y\_{2}, z\_{2}\\right)-\\left(x\_{1}, y\_{1}, z\_{1}\\right) \\ \&=\\left(x\_{2}-x\_{1}, y\_{2}-y\_{1}, z\_{2}-z\_{1}\\right) \\end{aligned}\) A 、B 两点间的距离/向量\(\\vec{AB}\)的模\(|A B|=|\\overrightarrow{A B}|=\\sqrt{\\left(x\_{2}-x\_{1}\\right)^{2}+\\left(y\_{2}-y\_{1}\\right)^{2}+\\left(z\_{2}-z\_{1}\\right)^{2}}\)

单位向量

设直角坐标系中的向量\(\\vec{a}=(a\_1,a\_2,a\_3)\)

则与\(\\vec{a}\)同方向的单位向量为\(\\vec{a}^\\circ = \\frac{\\vec{a}}{|\\vec{a}|} = \\left{\\frac{a\_1}{\\sqrt{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2}},\\frac{b\_1}{\\sqrt{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2}}, \\frac{c\_1}{\\sqrt{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2}}\\right}\)

方向角

方向角：向量\(\\vec{r}= \\vec{OM}=(a\_1,b\_1,c\_1)\)与x,y,z轴正向的夹角，一般记为\(\\alpha,\\beta,\\gamma\).

方向余弦

\(\\cos \\alpha=\\frac{a\_1}{|O M|}=\\frac{a\_1}{|r|} = \\frac{a\_1}{\\sqrt{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2}}\)

\(\\cos \\beta=\\frac{a\_2}{|r|} = \\frac{b\_1}{\\sqrt{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2}}\)

\(\\cos \\gamma=\\frac{a\_3}{|r|} = \\frac{c\_1}{\\sqrt{a\_1^2+b\_1^2+c\_1^2}}\)

\(\\cos^2 \\alpha + \\cos^2 \\beta + \\cos^2 \\gamma = 1\)

\(\\vec{a}^\\circ = \\frac{\\vec{a}}{|\\vec{a}|} = {\\cos \\alpha, \\cos \\beta, \\cos \\gamma}\)

向量的投影

点M在数轴u上的投影：过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M‘，则点M’称作点M在u轴上的投影。

向量\(\\vec{r}= \\vec{OM}\)在数轴u上的投影：过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M‘，则\(\\vec{OM^\\prime}\)称为向量\(\\vec{r}\)在u轴上的分向量，设\(\\vec{OM^\\prime} = \\lambda boldsymbol e\)，则\(\\lambda\)称为向量\(\\vec{r}= \\vec{OM}\)在数轴u上的投影，记作\(\\operatorname{Prj}\_{u} \\boldsymbol r\)或者\((\\boldsymbol r)\_u\)

直角坐标系中，设向量\(\\vec{a} = (a\_x,a\_y,a\_z)\)，则\(a\_x,a\_y,a\_z\)恰好就是\(\\vec{a}\)在三条坐标上的投影。

投影的性质： \(\\operatorname{Prj}_{u} \\boldsymbol a=|\\boldsymbol a| \\cos \\varphi\) \(\\operatorname{Prj}_{u}(\\boldsymbol{a}+\\boldsymbol{b})=\\operatorname{Prj}_{u} \\boldsymbol{a}+\\operatorname{Prj}_{u} \\boldsymbol{b}\) \(\\operatorname{Prj}_{u}(\\lambda \\boldsymbol{a})=\\lambda \\operatorname{Prj}_{u} \\boldsymbol{a}\)

向量的数量积、向量积与混合积

数量积\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}\)

数量积的结果是个标量。

数量积定义（几何刻画）：

\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\cos \\hat{(\\vec{a},\\vec{b})}\)

\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{a}| \\operatorname{Prj}\_{\\vec{a}} \\vec{b}\)

\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=|\\vec{b}| \\operatorname{Prj}\_{\\vec{b}} \\vec{a}\)

意义：是其中一个向量与另一个向量在此方向投影的乘积的大小。

性质：

\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=\\vec{b} \\cdot \\vec{a}\)

\((\\vec{a}+\\vec{b}) \\cdot \\vec{c}=\\vec{a} \\cdot \\vec{c}+\\vec{b} \\cdot \\vec{c}\)

\((\\lambda \\vec{a}) \\cdot \\vec{b}=\\lambda(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}), \\lambda\) 为数.

\(\\vec{a} \\cdot \\vec{a}=|\\vec{a}|^2\)

若\(\\vec{a} \\cdot \\vec{a}=0 \\Leftrightarrow \\vec{a} = \\vec{0}\)

若\(\\vec{a} \\cdot \\vec{b}=0 \\Leftrightarrow \\vec{a} \\perp \\vec{b}\)

坐标表示（直角坐标系中的代数刻画）：

\(\\boldsymbol a \\cdot \\boldsymbol b=\\left(a\_{x} \\boldsymbol i+a\_y \\boldsymbol j+a\_{z} \\boldsymbol k\\right) \\cdot\\left(b\_{x} \\boldsymbol i+b\_u \\boldsymbol j+b\_{z} \\boldsymbol k\\right)=a\_{x} b\_{x}+a\_{y} b\_{y}+a\_{z} b\_{z}\)

向量积\(\\vec{a} \\times \\vec{b}\)

向量积的结果是个向量。

向量积定义（几何刻画）：

向量积的方向：通过右手准则确定，并与\(\\vec{a}\)和\(\\vec{b}\)都垂直。 向量积的大小：\(|\\vec{a} \\times \\vec{b}|=|\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\sin \\hat{(\\vec{a},\\vec{b})}\)

意义：由两个向量决定另一个向量方向。

性质：

\(\\vec{a} \\times \\vec{a}=\\vec{0}\)

\(\\vec{a} \\times \\vec{b}=-\\vec{b} \\times \\vec{a}\)

\(\\vec{a} \\times \\vec{b} \\perp \\vec{a}, \\vec{a} \\times \\vec{b} \\perp \\vec{b}\)

\((\\vec{a}+\\vec{b}) \\times \\vec{c}=\\vec{a} \\times \\vec{c}+\\vec{b} \\times \\vec{c}\)

\((\\lambda \\vec{a}) \\times \\vec{b}=\\vec{a} \\times(\\lambda \\vec{b})=\\lambda(\\vec{a} \\times \\vec{b})\)

若对于两个非零向量，\(\\vec{a} \\times \\vec{b}=\\vec{0} \\Leftrightarrow \\vec{a} // \\vec{b}\) 或\(\\frac{a\_1}{a\_2} = \\frac{b\_1}{b\_2} = \\frac{c\_1}{c\_2}\)

\(|\\vec{a} \\times \\vec{b}| = |\\vec{a}| \\cdot |\\vec{b}| \\sin \\hat{(\\vec{a},\\vec{b})} = 2 S\_\\triangle\)

坐标表示（直角坐标系中的代数刻画）：

\(\\vec{a} \\times \\vec{b} =\\left(a\_{x} \\boldsymbol i+a\_{y} \\boldsymbol j+a\_{z} \\boldsymbol k\\right) \\times\\left(b\_{x} \\boldsymbol i+b\_{y} \\boldsymbol j+b\_{z} \\boldsymbol k\\right)= \\left|\\begin{array} \\vec{i} \& \\vec{j} \& \\vec{k} \\ a\_x \& a\_y \& a\_z \\ b\_x \& b\_y \& b\_z \\end{array}\\right|\)

混合积\((\\vec{a} \\times \\vec{b})\\cdot \\vec{c}\)

三个向量的混合积是个标量。

混合积定义（几何刻画）：

\(\[\\vec{a} \\vec{b} \\vec{c}\]=(\\vec{a} \\times \\vec{b}) \\cdot \\vec{c}\)

意义：它的绝对值表示以\(\\vec{a} , \\vec{b} , \\vec{c}\)为棱的平行六面体的体积。

坐标表示（代数刻画）：

\(\[\\vec{a} \\vec{b} \\vec{c}\]=(\\vec{a} \\times \\vec{b})\\cdot \\vec{c}=\\left|\\begin{array}{lll}a\_{x} \& a\_{y} \& a\_{z} \\ b\_{x} \& b\_{y} \& b\_{z} \\ c\_{x} \& c\_{y} \& c\_{z}\\end{array}\\right|\)

性质：

3个向量\(\\vec{a} , \\vec{b} , \\vec{c}\)共面 \(\\Leftrightarrow\) \(\[\\vec{a} \\vec{b} \\vec{c}\]=(\\vec{a} \\times \\vec{b})\\cdot \\vec{c}=0\)

向量的几何应用：空间解析几何

空间解析几何中，任何曲面或曲线都可以看作是点的几何轨迹。

空间解析几何将图形看作是点的轨迹，如何由几何轨迹建立方程、如何根据方程研究几何图形，是研究的两个基本的问题。

空间曲面\(F(x,y,z) = 0\)

对于曲面S和方程\(F(x,y,z) = 0\)，若： 1）曲面上任何一点的坐标都满足方程 2）曲面外任何一点的坐标都不满足方程 称这个方程\(F(x,y,z) = 0\)是曲面S的方程，曲面S是方程\(F(x,y,z) = 0\)的图形。

特殊曲面

球面

球心在点 \(M\_{0}\\left(x\_{0}, y\_{0}, z\_{0}\\right),\) 半径为 \(R\)，设 \(M(x, y, z)\) 是球面上的任一点，则有\(\\left|M\_{0} M\\right|=R\) 即\(\\left(x-x\_{0}\\right)^{2}+\\left(y-y\_{0}\\right)^{2}+\\left(z-z\_{0}\\right)^{2}=R^{2}\)

一般的，三元二次方程\(A x^{2}+A y^{2}+A z^{2}+D x+E y+F z+G=0\)都可以通过配方法化为球的方程的标准形式。其特点是缺 xy, yz,zx 各项, 而且平方项系数相同。

柱面

\(F(x,y)= 0\)表示某平行于z轴的柱面。平面上任意一条平行于z轴的直线称为柱面的母线，xOy面上的\(F(x,y)= 0\)叫做柱面的准线。 \(F(y,z)= 0\)表示某平行于x轴的柱面。 \(F(x,z)= 0\)表示某平行于y轴的柱面。

不论没出现的那个坐标取何值，点都在对应的曲面上。

旋转曲面

对于曲线: \(\\left{\\begin{array}{} f(x,y) = 0 \\ z=0\\end{array}\\right.\)

绕x轴旋转形成的曲面\(\\Sigma\_x\)为： \(f(x,\\pm \\sqrt{y^2+z^2}) = 0\)

绕y轴旋转形成的曲面\(\\Sigma\_y\)为： \(f(\\pm \\sqrt{x^2+z^2}, y)= 0\)

规律是：绕谁旋转，谁不变

二次曲面

与平面解析几何中规定的二次曲线相似，我们把三元二次方程\(F(x, y, z)=0\)所表示的曲面称作二次曲面，把平面称作一次曲面。

我们可以通过截痕法、伸缩变形的方法得到二次曲面的形状。

共有9种二次曲面。

其中三种： 这3种二次曲面是以二次曲线为准线的柱面：

椭圆柱面：\(\\frac{x^{2}}{a^{2}}+\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) 双曲柱面：\(\\frac{x^{2}}{a^{2}}-\\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) 抛物柱面：$ x^{2}=a y$

剩余6种：

空间平面

空间平面可看作空间曲面的退化。

空间平面的点法式方程

设\(M\_0(x\_0,y\_0,z\_0) \\in \\pi\)平面，\(\\vec{n} = {A,B,C} \\perp \\pi\)平面。 $\forall M(x,y,z) \in \pi \text{平面} \Leftrightarrow \vec{n} \perp \vec{M_0 M} \Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{M_0 M} =0 $ 所以\(\\pi\)平面方程为：\(A(x-x\_0)+B(y-y\_0)+C(z-z\_0)=0\)

空间平面的截距式方程

\(\\frac{x}{a} + \\frac{y}{b} + \\frac{z}{c} = 0\)

空间平面的一般式方程

\(Ax+By+Cy+D=0\)

两平面的夹角

两平面的夹角等于两平面法向量的夹角，则：

\(\\cos \\theta=\\frac{\\vec{| n\_1 \\cdot \\vec{n\_2}|}}{|\\vec{n\_1}| \\cdot| \\vec{n\_2}|}=\\frac{\\left|A\_{1} A\_{2}+B\_{1} B\_{2}+C\_{1} C\_{2}\\right|}{\\sqrt{A\_{1}^{2}+B\_{1}^{2}+C\_{1}^{2}} \\sqrt{A\_{2}^{2}+B\_{2}^{2}+C\_{2}^{2}}}\)

从两向量垂直、平行的充分必要条件可推得： 平面\(\\Pi\_{1}, \\Pi\_{2}\) 互相垂直相当于 \(A\_{1} A\_{2}+B\_{1} B\_{2}+C\_{1} C\_{2}=0\) 平面\(\\Pi\_{1}, \\Pi\_{2}\) 互相平行或重合相当于 \(\\frac{A\_1}{A\_{2}}=\\frac{B\_{1}}{B\_{2}}=\\frac{C\_{1}}{C\_{2}}\)

平面束方程

设直线 L 由如下方程组确定： \(\\left{\\begin{array}{l}A\_{1} x+B\_{1} y+C\_{1} z+D\_{1}=0 \\ A\_{2} x+B\_{2} y+C\_{2} z+D\_{2}=0\\end{array}\\right.\) 其中系数 \(A\_{1}, B\_{1}, C\_{1}\) 与 \(A\_{2}, B\_{2}, C\_{2}\) 不成比例.

则三元一次方程组(其中 \(\\lambda\) 为任意常数)： \(A\_{1} x+B\_{1} y+C\_{1} z+D\_{1}+\\lambda\\left(A\_{2} x+B\_{2} y+C\_{2} z+D\_{2}\\right)=0\) 可表示过直线L的任意平面（除\(A\_{2} x+B\_{2} y+C\_{2} z+D\_{2}=0\)之外） 称为通过直线L的平面束方程。

空间曲面的切平面与法线

\(\\Sigma: F(x,y,z)=0\)是空间曲面， \(M\_0(x\_0,y\_0,z\_0) \\in \\Sigma\)曲面， \(M\_0\)处切平面的一个法向量为\(\\vec{n} = {F\_x^\\prime, F\_y^\\prime, F\_z^\\prime}|\_{M\_0}\)

根据\(M\_0\)和\(\\vec{n}\)可写出曲面的切平面的点法式方程。 根据\(M\_0\)和\(\\vec{n}\)可写出曲面的法线的点向式方程。

空间曲线

空间曲线的表达形式

空间曲线的一般式方程

\(\\left{\\begin{array}{} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \\end{array}\\right.\)

空间曲线的参数式方程

\(\\left{\\begin{array}{} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \\end{array}\\right.\)

空间曲线在坐标面上的投影

由空间曲线的一般式消去其中一元后（如果可以消去的话，比如消去z），得：\(H(x, y)=0\) 由前面已知，这是一个柱面，称为曲线关于平面xOy的投影柱面，再令z=0， 即得到空间曲线在xOy面的投影（方程）： \(\\left{\\begin{array}{l}H(x, y)=0 \\ z=0\\end{array}\\right.\)

后面重积分章节，用投影法算三重积分可能会用到。

空间直线

空间直线可看作是空间曲线的退化。

空间直线的点向式方程

已知\(M\_0 \\in L, \\vec{s} = {m,n,p} // L\)

\(\\forall M(x,y,z) \\in L \\Leftrightarrow \\vec{M\_0 M} // \\vec{s}\)，则L：\(\\frac{x-x\_0}{m} = \\frac{y-y\_0}{n} = \\frac{z-z\_0}{p}\)

当 m、n 和 p 中有一个为0,例如 m = 0, 而 n 与 p不等于0 时,这方程组应理解为 \(\\left{\\begin{array}{l}x-x\_{0}=0 \\ \\frac{y-y\_{0}}{n}=\\frac{z-z\_{0}}{p}\\end{array}\\right.\)

空间直线的参数式方程

令\(\\frac{x-x\_0}{m} = \\frac{y-y\_0}{n} = \\frac{z-z\_0}{p} = t\) 则L：\(\\left{\\begin{array}{} x=x\_0 +mt \\ y=y\_0 + nt \\ z=z\_0 + pt \\end{array}\\right.\)

空间直线的一般式方程

空间直线可看作是两个空间平面的交线。

则L：\(\\left{\\begin{array}{} A\_1 x + B\_1 y + C\_1 z + D\_1 = 0 \\ A\_2 x + B\_2 y + C\_2 z + D\_2 = 0 \\end{array}\\right.\)

两空间直线的夹角

两直线的方向向量的夹角(通常指锐角或直角) 叫做两直线的夹角.

\(\\cos \\varphi= \\frac{| \\vec{s\_1} \\cdot \\vec{s\_2} |}{| \\vec{s\_1}| \\cdot |\\vec{s\_2} |}=\\frac{\\left|m\_{1} m\_{2}+n\_{1} n\_{2}+p\_{1} p\_{2}\\right|}{\\sqrt{m\_{1}^{2}+n\_{1}^{2}+p\_{1}^{2}} \\sqrt{m\_{2}^{2}+n\_{2}^{2}+p\_{2}^{2}}}\)

直线与平面的夹角

当直线与平面不垂直时，直线与它在平面上的投影直线的夹角为\(\\varphi\\left(0 \\leqslant \\varphi\<\\frac{\\pi}{2}\\right)\)，称为直线与平面的夹角。 当直线与平面垂直时，规定直线与平面的夹角为\(\\frac{\\pi}{2}\)

设直线的方向向量为 \(\\vec{s}=(m, n, p)\),平面的法线向量为 \(\\vec{n}=(A, B, C),\) 直线与平面的夹角为 \(\\varphi=\\left|\\frac{\\pi}{2}-\\hat{(\\boldsymbol s, \\boldsymbol n)}\\right|,\) 因此（当\(\\varphi \< \\frac{\\pi}{2}\)时）： \(\\sin \\varphi=|\\cos \\hat{(\\boldsymbol s, \\boldsymbol{n})}|=\\frac{\\left|A m+B n+C p\\right|}{\\sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}} \\sqrt{m^{2}+n^{2}+p^{2}}}\) 当直线与平面平行时（即当\(\\varphi = 0\)时），直线与平面的法向量垂直: \(A m+B n+C p = 0\) 当至直线与平面垂直时（即当\(\\varphi = \\frac{\\pi}{2}\)时），直线与平面的法向量平行： \(\\frac{A}{m}=\\frac{B}{n}=\\frac{C}{p}\)

空间曲线的切线与法平面

根据空间曲线的参数式方程： \(\\left{\\begin{array}{} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \\end{array}\\right.\) 取\(t = t\_0 \\Rightarrow \\text{切点}M\_0(x\_0, y\_0, z\_0)\) 切点\(M\_0\)处的切向量\(\\vec{T} = {x^\\prime(t\_0), y^\\prime(t\_0), z^\\prime(t\_0)}\) 则可以写出空间曲线的切线的点向式方程， 也可以写出空间曲线的法平面的点法式方程。

根据空间曲线的一般式方程： \(\\left{\\begin{array}{} F(x,y,z) = 0 \\ G(x,y,z) = 0 \\end{array}\\right.\) 取\(M\_0(x\_0,y\_0,z\_0) \\in \\text{曲线} L\) 设\(\\vec{n\_1},\\vec{n\_2}\)分别是\(M\_0\)处两个曲面$ F(x,y,z) = 0 , G(x,y,z) = 0\(的切平面的法向量，则\)\vec{T} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = { F_x^\prime, F_y^\prime, F_z^\prime} \times { G_x^\prime, G_y^\prime, G_z^\prime} $ 则可以写出空间曲线的切线的点向式方程， 也可以写出空间曲线的法平面的点法式方程。

距离

两点间的距离

设\(A(x\_1,y\_1,z\_1), B(x\_2,y\_2,z\_2)\) 则两点间的距离\(d=\\sqrt{(x\_2-x\_1)^2 + (y\_2-y\_1)^2 + (z\_2-z\_1)^2}\)

点到平面的距离

\(\\pi \\text{平面:} Ax+By+Cz+D=0,M\_0(x\_0,y\_0,z\_0) \\notin \\pi\) 则点\(M\_0\)到\(\\pi\)平面的距离\(d=\\frac{|A x\_0 + B y\_0 + C z\_0 + D|}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

平行平面之间的距离

\(\\pi\_1 \\text{平面:} Ax+By+Cz+D\_1=0\) \(\\pi\_2 \\text{平面:} Ax+By+Cz+D\_2=0\)

取\(\\forall M\_0(x\_0,y\_0,z\_0) \\in \\pi\_2\)，则\(A x\_0 + B y\_0 + C z\_0 + D\_2 = 0\) 则\(M\_0\)到平面\(\\pi\_1\)的距离就是两平面间的距离。 \(d=\\frac{|A x\_0 + B y\_0 + C z\_0 + D\_1|}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\\frac{|D\_1 – D\_2|}{\\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\)

点到直线的距离

设\(M\_0(x\_0,y\_0,z\_0), M\_1(x,y,z)\) 则有\(|\\vec{M\_1 M\_0} \\times \\vec{s} | = 2 S\_\\triangle\) 又有\(|\\vec{s}| \\cdot d = 2 S\_\\triangle\) 则\(|\\vec{s}| \\cdot d =|\\vec{M\_1 M\_0} \\times \\vec{s} |\) 则点\(M\_0\)到直线L的距离\(d = \\frac{|\\vec{M\_1 M\_0} \\times \\vec{s} |}{|\\vec{s}|}\)

异面直线间的距离

1）准备工作： 在直线\(L\_1\)上找任意一点\(M\_1(x\_1,y\_1,z\_1)\)，找直线\(L\_1\)的一个方向向量\(\\vec{s\_1} = {m\_1,n\_1,p\_1}\)。 在直线\(L\_2\)上找任意一点\(M\_2(x\_2,y\_2,z\_2)\)，找直线\(L\_2\)的一个方向向量\(\\vec{s\_2} = {m\_2,n\_2,p\_2}\)。

2）确认两直线异面 \(L\_1,L\_2\)共面\(\\Leftrightarrow \\vec{s\_1} \\times \\vec{s\_2} \\perp \\vec{M\_1 M\_2} \\Leftrightarrow (\\vec{s\_1} \\times \\vec{s\_2}) \\cdot \\vec{M\_1 M\_2} = 0\) \(L\_1,L\_2\)异面\(\\Leftrightarrow (\\vec{s\_1} \\times \\vec{s\_2}) \\cdot \\vec{M\_1 M\_2} \\neq 0\)

3）转化为求点到直线之间的距离 过点\(M\_1\)作\(L\_2^\\prime // L\_2\)，则\(L\_1,L\_2^\\prime\)在一个平面\(\\pi\)上 $M_1 \in \pi \(平面，\)\vec{n} = \vec{s_1} \times \vec{s_2} \(，则可以确定平面\)\pi$ 求异面直线间的距离转化为求点\(M\_2\)到平面\(\\pi\)的距离。