高等数学-一元积分学-定积分与反常积分

定积分

定积分概念

函数\(f(x)\)在[a,b]有定义且有界，分割为\(\\Delta x\_i\)小段，每段上取点\(\\xi\_i\)处函数值作乘积\(f\\left(\\xi\_{i}\\right) \\Delta x\_{i}\)，求和取极限\(\\lim *{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum*{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}\\right) \\Delta x\_{i}\)，其中\(\\lambda=\\max *{1 \\leq i \\leq n}\\left|\\Delta x*{i}\\right|\)

如果上述极限存在，则称\(f(x)\)在[a,b]上可积，并称上述极限为\(f(x)\)在[a,b]上的定积分，记为\(\\lim *{\\lambda \\rightarrow 0} \\sum*{i=1}^{n} f\\left(\\xi\_{i}\\right) \\Delta x\_{i}=\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\)

（有界是可积的必要条件）

定积分和原函数存在的判定

定积分存在定理

\(f(x)\)在[a,b]上连续，则定积分\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\)存在

\(f(x)\)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则定积分\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\)存在（一般可以看作多个连续的定积分相加）

原函数存在定理

\(f(x)\)在[a,b]上连续，则原函数存在

注：如果\(f(x)\)不连续，则原函数存在与否与定积分\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\)存在与否不相关

牛顿-莱布尼兹定理

由前面定理\(f(x)\)在[a,b]上连续，则原函数存在，定积分存在。

若\(f(x)\)在[a,b]上连续，\(F(x)\)是\(f(x)\)的一个原函数，则\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x=\\left.F(x)\\right|\_{a} ^{b}=F(b)-F(a)\)，这个关系叫做牛顿-莱布尼兹公式

证明:

定积分性质

以下均设\(f(x)\)与\(g(x)\)可积

四则与上下限

\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x=-\\int\_{b}^{a} f(x) \\mathrm{d} x\)

\(\\int\_{a}^{a} f(x) \\mathrm{d} x=0\)

\(\\int\_{a}^{b}\[f(x) \\pm g(x)\] \\mathrm{d} x=\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x \\pm \\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x\)

\(\\int\_{a}^{b} k f(x) \\mathrm{d} x=k \\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x, k\) 为常数

\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x=\\int\_{a}^{c} f(x) \\mathrm{d} x+\\int\_{c}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\)

一些特殊上下限变换:

\(\\int\_{-a}^{0} \\overset {x=-t}{=} \\int\_{0}^{a}\) , 如:\(\\int\_{-a}^{0} f(x) d x=\\int\_{0}^{a} f(-x) d x\)

\(\\int\_{a}^{b} \\overset{x+t=a+b}{=} \\int\_{a}^{b}\) ,如: \(\\int\_{a}^{b} f(x) d x=\\int\_{a}^{b} f(a+b-x) d x\)

\(\\int\_{a}^{a+T} \\overset{x-a=t}{=} \\int\_{0}^{T}\)

\(\\int\_{a}^{b} \\overset {x=a+(b-a) t}{=} \\int\_{0}^{1}\)

缩放

\(f(x) \\leqslant g(x), a \\leqslant b,\) 则 \(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x \\leqslant \\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x\)

若 \(f(x) \\text { 与 } g(x) \\text { 在区间\[ } a, b\]\) 上连续, \(f(x) \\leqslant g(x)\),且至少存在点 \(x\_{1}, a \\leqslant x\_{1} \\leqslant b\)，使 \(f\\left(x\_{1}\\right)\<g\\left(x\_{1}\\right),\) 则\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\<\\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x\)

\(\\left|\\int\_{a}^{b} f(x) d x\\right| \\leqslant \\int\_{a}^{b} | f(x) | d x \\quad(a\<b)\)

积分中值定理

设 \(f(x) \\text { 在\[ } a, b\]\) 连续,则至少存在一点 \(\\xi \\in \[a, b\]\) 使\(\\int\_{a}^{b} f(x) d x=f(\\xi)(b-a)\)

证明:(用介值定理证明)

对称奇偶周期性

设 \(f(x) \\text { 在[ }-a, a](a%3E0)\) 上是个连续函数,则\(\\int\_{-a}^{a} f(x) d x=\\int\_{0}^{a}\[f(x)+f(-x)\] d x\)

设 \(f(x) \\text { 在[ }-a, a](a%3E0)\) 上是个连续的偶函数，则\(\\int\_{-a}^{a} f(x) \\mathrm{d} x=2 \\int\_{0}^{a} f(x) \\mathrm{d} x\)

设 \(f(x) \\text { 在[ }-a, a](a%3E0)\) 上是个连续的奇函数,则 \(\\int\_{-a}^{a} f(x) \\mathrm{d} x=0\)

设 \(f(x) \\text { 在(一 } \\infty,+\\infty)\) 内是以 \(T\) 为周期的连续函数,则对于任意的常数 \(a,\) 恒有\(\\int\_{a}^{a+T} f(x) \\mathrm{d} x=\\int\_{0}^{T} f(x) \\mathrm{d} x\)

设 \(f(x) \\text { 在(一 } \\infty,+\\infty)\) 内是以 \(T\) 为周期的连续函数,则\(\\int\_{0}^{n T} f(x) d x=n \\int\_{0}^{T} f\\left(x\\right) d x\)

\(\\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\sin x) d x=\\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x\)

华里士公式：\(I\_n = \\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\sin ^{n} x \\mathrm{d} x=\\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} \\cos ^{n} x \\mathrm{d} x=\\left{\\begin{array}{lr}\\frac{n-1}{n} \\cdot \\frac{n-3}{n-2} \\cdot \\cdots \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{\\pi}{2}, \& \\text { 当 } n \\text { 为正偶数 } \\ \\frac{n-1}{n} \\cdot \\frac{n-3}{n-2} \\cdots \\cdots \\frac{2}{3} \\cdot 1, \& \\text { 当 } n \\text { 为大于 } 1 \\text { 的正奇数. }\\end{array}\\right.\) 即\(\\left{ \\begin{aligned} \& I\_{n}=\\frac{n-1}{n} I\_{n-2} \& I\_{0}=\\frac{\\pi}{2} \& I\_{1}=1 \\end{aligned}\\right.\)

\(\\int\_{0}^{\\pi} f\\left(\\sin x\\right) d x=2 \\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f\\left(\\sin x\\right) d x\)

\(\\int\_{0}^{\\pi} f(|\\cos x|) d x=2 \\int\_{0}^{\\frac{\\pi}{2}} f(\\cos x) d x\)

一个比较常用的变换公式：

\(\\int\_{0}^{\\pi} x f(\\sin x) d x=\\frac{\\pi}{2} \\int\_{0}^{\\pi} f(\\sin x) d x=\\pi \\int\_{0}^{\\frac{x}{2}} f(\\sin x) d x\)

证明：

定积分积分法

定积分的换元积分法

定积分换元积分时，和不定积分的区别在于：换元时，积分上、下限应跟着换，而不必像不定积分那样求出原函数后代回成原变量x.

定积分的分部积分法

\(\\int\_{a}^{b} u(x) v^{\\prime}(x) \\mathrm{d} x=\\left.u(x) v(x)\\right|*{a} ^{b}-\\int*{a}^{b} v(x) u^{\\prime}(x) \\mathrm{d} x\) 或\(\\int\_{a}^{b} u(x) \\mathrm{d} v(x)=\\left.u(x) v(x)\\right|*{a} ^{b} – \\int*{a}^{b} v(x) \\mathrm{d} u(x)\) 相对不定积分，只是多了积分上下限。

变限积分函数

积分上限函数

\(\\int\_{a}^{x} f(t) d t \\triangleq \\Phi(x)\)

积分下限函数

类似积分上限函数定义

上限积分函数求导

\(f(x)\)在[a,b]上连续，$ \Phi(x)＝\int_{a}^{x} f(t) d t \(，则\)\Phi^{{\prime}(x)＝\left(\int_{a}}{x} f(t) \mathrm{d} t\right)x^{\prime} =f(x), x \in[a, b]\(，即\)\int{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t\(是\)f(x)$的一个原函数

推论：\(\\frac{d}{d x} \\int\_{a}^{\\varphi(x)} f(t) d t=f\[\\varphi(x)\] \\cdot \\varphi^{\\prime}(x)\)

推论：\(\\frac{d}{d x} \\int\_{\\varphi\_1(x)}^{\\varphi\_2(x)} f(t) d t=f\\left\[\\varphi\_{2}(x)\\right\] \\varphi\_{2}^{\\prime}(x)-f\\left\[\\varphi\_1 (x)\\right\] \\varphi\_{1}^{\\prime}(x)\)

反常积分(广义积分)

正常积分

积分区间有限 \(f(x)\)在区间[a,b]上连续,或存在有限个第一类间断点

定义域无限的反常积分

$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x $型

\(f(x)\)在\(\[a,+\\infty)\)连续,求$\int_{a}^{+\infty} f(x) d x $

正常积分有牛顿-莱布尼兹公式\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x=F(b)-F(a)\)

\(F(b)-F(a)\)与\(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\)不同,但是当\(b \\rightarrow +\\infty\),则相同.

计算

可以根据定义来计算\(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x =\\lim *{b \\rightarrow+\\infty} \\int*{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x = \\lim\_{b \\rightarrow +\\infty}\[F(b)-F(a)\] = \\left{\\begin{array}{l} \=A \\text { ,收敛 } \\text { 不存在,发散 } \\end{array} \\right.\)

也可以判敛之后，根据正常积分的步骤来计算。

判敛

比较审敛法

极限审敛法:若\(\\lim\_{n \\rightarrow \\infty} x^{\\alpha} \\cdot f(x)=c\_{0}(\\neq 0)\),则\(\\left{\\begin{aligned}\\text{收敛},\\alpha \>1 \\ \\text{发散}, \\alpha \\le 1\\end{aligned}\\right.\)

$\int_{-\infty}^{a} f(x) d x $型

\(f(x)\)在\(\[-\\infty,a)\)连续,求$\int_{-\infty}^{a} f(x) d x $

判敛和计算方式与趋于正无穷的反常积分类似.

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x $型

\(f(x)\)在\(\[a,+\\infty)\)连续,求$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x $

判敛:

$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) d x \(收敛\)\Leftrightarrow$ $\int_{-\infty}^{a} f(x) d x \(与\)\int_{a}^{+\infty} f(x) d x $都收敛

注意:要想对该类广义积分使用定积分对称区间上的性质,前提是该广义积分收敛.

函数值域无界的反常积分

端点处\(f(a+) \\rightarrow \\infty\)的 \(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)型

\(f(x)\)在\((a,b\]\)连续,求\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)

根据牛顿-莱布尼兹公式有\(\\forall \\varepsilon\>0 , \\int\_{a+\\varepsilon}^{b} f(x) d x=F(b)-F(a+\\varepsilon)\)

\(F(b)-F(a+\\varepsilon)\)与\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)不等,但是\(\\varepsilon \\rightarrow 0\)则相同

计算

可以根据定义计算\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x =\\lim *{a \\rightarrow a+} \\int*{a}^{b} f(x) d x= \\lim\_{\\varepsilon \\rightarrow 0} \\left\[ F(b)-F(a+\\varepsilon) \\right\] = \\left{\\begin{array}{l} \=A \\text { ,收敛 } \\text { 不存在,发散 } \\end{array} \\right.\)

也可以判敛之后按正常积分来计算

判敛

比较审敛法

极限审敛法:\(\\lim\_{x \\rightarrow a^{+}}(x-a)^{\\alpha} \\cdot f(x)=C\).则\(\\left{\\begin{aligned}\\text{收敛},\\alpha \<1 \\ \\text{发散}, \\alpha \\ge 1\\end{aligned}\\right.\)

端点处\(f(b-) \\rightarrow \\infty\)的 \(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)型

\(f(x)\)在\(\[a,b)\)连续,求\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)

计算与判敛类似左端点函数值趋于无穷的情况

端点处\(f(a+) \\rightarrow \\infty\)且\(f(b-) \\rightarrow \\infty\)的 \(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)型

\(f(x)\)在\((a,b)\)连续,求\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)

计算与判敛同上,判敛要对两个端点都进行一次

区间中有\(f(c) \\rightarrow \\infty\)的 \(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)型

\(f(x)\)在\(\[a, c) \\cup(c, b\]\)连续,且\(\\lim\_{x \\rightarrow c} f(x) = \\infty\),求\(\\int\_{a}^{b} f (x) d x\)

$\int_{a}^{b} f(x) d x \(收敛\)\Leftrightarrow$ $\int_{a}^{c} f(x) d x \(与\)\int_{c}^{b} f(x) d x $都收敛

反常积分的审敛

反常积分的审敛

不通过被积函数的原函数判定反常积分收敛性的判定方法

反常积分审敛依据的定理

定理 1(单调有界必收敛)

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\[a,+\\infty)\) 上连续且 \(f(x) \\geq 0 . \\quad\) 若函数 \(F(x)=\\int\_{a}^{x} f(t) d t\)在\(\[a,+\\infty)\) 上有上界，则反常积分 \(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 收敛.

定理2(比较审敛原理)

设函数 \(f(x), g(x)\) 在区间 \(\[a,+\\infty)\) 上连续、非负，如果 \(f(x) \\leq g(x),(a \\leq x\<+\\infty),\) 并且 \(\\int\_{a}^{+\\infty} g(x) d x\) 收敛，则 \(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 也收敛 \(; \\quad\) 如果 \(f(x) \\geq g(x),(a \\leq x\<+\\infty)\)并且 \(\\int\_{a}^{+\\infty} g(x) d x\) 发散，则 \(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 也发散.(可依据定理1推导)

区间 \((-\\infty,a\]\) 上连续, 或者 \(f(x) \\leq 0 \\quad\)情况类似.

无穷限反常积分的审敛法

特别地，取 \(g(x)=\\frac{1}{x^{p}}\),就可由定理2(比较审敛原理)推出下面的定理3(比较审敛法)

定理3(比较审敛法 1)

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\[a,+\\infty) \\quad(a\>0)\) 上连续，且 \(f(x) \\geq 0\) . 如果存在常数 M >0 及 p>1，使得 \(\\left.f(x) \\leq \\frac{M}{x^{p}},(a \\leq x\<+\\infty), \\text { 则 }\\right\] \\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 收敛； 如果存在常数 N > 0，使得 \(f(x) \\geq \\frac{N}{x}(a \\leq x\<+\\infty),\) 则 \(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 发散.

定理4(极限审敛法 1)

比较审敛法,移项取极限可得如下极限审敛法:

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\[a,+\\infty)(a\>0)\) 上连续，且 \(f(x) \\geq 0\) 。如果存在常数 \(p\>1,\) 使得 \(\\lim *{x \\rightarrow+\\infty} x^{p} f(x)\) 存在 则\(\\int*{a }^{+\\infty} f(x) d x\)收敛： 如果 \(\\lim \_{x \\rightarrow+\\infty} x f(x)=d\>0\\left(\\text { 或 } \\lim *{x \\rightarrow+\\infty} x f(x)=+\\infty\\right),\) 则\(\\int*{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 发散.

定理5(积分的绝对值小于绝对值的积分)

设函数 \(f(x)\) 在区间 \(\[a,+\\infty)\) 上连续， 如果 \(\\int\_{a}^{+\\infty}|f(x)| d x\) 收敛,则 \(\\int\_{a}^{+\\infty} f(x) d x\) 也收敛,称其绝对收敛.

无界函数反常积分的审敛法

定理6(比较审敛法2)

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b\]\) 上连续，且 \(f(x) \\geq 0\) ，\(x=a\) 是瑕点.如果存在常数 \(M\>0\) 及 \(q\<1\) 使得 \(\\quad f(x) \\leq \\frac{M}{(x-a)^{q}} \\quad(a\<x \\leq b)\) 则反常积分 \(\\int\_{a}^{b} f(\\boldsymbol{x}) d x\) 收敛; 如果存在常数 \(N\>\\mathbf{0}\) 使得 \(\\quad f(x) \\geq \\frac{N}{x-a} \\quad(a\<x \\leq b)\) 则反常积分 \(\\int\_a^{b} f(x) d x\) 发散

定理 7(极限审敛法2)

设函数 \(f(x)\) 在区间 \((a, b\]\) 上连续，且 \(f(x) \\geq 0\) ，\(x=a\) 是瑕点.如果存在常数 \(\\mathbf{0}\<q\<1, \\quad\) 使得\(\\lim *{x \\rightarrow a^{+}}(x-a)^{q} f(x)\)存在,则反常积分 \(\\int*{a}^{b} f(x) d x\) 收敛： 如果 \(\\lim \_{x \\rightarrow a^{+}}(x-a) f(x)=d\>0\\left(\\text { 或 } \\lim *{x \\rightarrow a^{+}}(x-a) f(x)=+\\infty\\right)\) 则反常积分 \(\\int*{a}^{b} f(x) d x\) 发散.

对于无界函数的反常积分，当被积函数在所讨论的区间上可取正值又可取负值时，也有与定理5相类似的结论。

\(\\Gamma\)函数

\(\\Gamma\)函数定义

\(\\Gamma\)函数属于区间无限的反常积分.

$\Gamma(\alpha) \triangleq \int_{0}^{+\infty} x^{\alpha-1} e^{-x} d x $

或者\(\\Gamma(s)=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x,(s\>0)\)

\(\\Gamma\)函数的几个例子:

eg: \(\\int\_{0}^{+\\infty} x^{4} e^{-x} d x=\\Gamma(5)\)

eg: \(\\int\_{0}^{+\\infty} \\sqrt{x} e^{-x} d x=\\Gamma\\left(\\frac{3}{2}\\right)\)

\(\\Gamma\)函数特点

1. 积分区间为无穷区间;
2. \(0\<s\<1\)时,被积函数在点 \(x=0\) 的右半邻域内无界. 点 \(x=0\) 是瑕点.
3. \(\\Gamma(s)=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x\) 对 \(s\>0\) 均收敛.
4. 由\(\\Gamma(s)\)的图形，可知\(\\Gamma(s)\)在\((0,+\\infty)\)上连续

证明\(\\Gamma\)函数在\(s\>0\)均收敛

当 \(s-1\<0\) 时,即\(0\<s\<1\)时,被积函数在点 \(x=0\) 的右半邻域内无界. 点 \(x=0\) 是瑕点. 设 \(I\_{1}=\\int\_{0}^{1} e^{-x} x^{s-1} d x, \\quad I\_{2}=\\int\_{1}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x\) (1) 当 \(s \\geq 1\) 时, \(I\_{1}\) 是定积分 (2) \(0\<s\<1\) 时,\(\\because e^{-x} \\cdot x^{s-1}=\\frac{1}{x^{1-s}} \\cdot \\frac{1}{e^{x}}\<\\frac{1}{x^{1-s}}\) 又\(\\because 1- s\<1 \\therefore I\_{1}=\\int\_{0}^{1} e^{-x} x^{s-1} d x\) 收敛.（比较审敛法2） \(\\lim *{x \\rightarrow+\\infty} x^{2} \\cdot\\left(e^{-x} x^{s-1}\\right)=\\lim {x \\rightarrow+\\infty} \\frac{x^{s+1}}{e^{x}}=0\) \(\\therefore I{2}=\\int*{1}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x\) 收敛. \(\\quad(\) 极限审敛法)

由 (1),(2) 知 \(\\Gamma(s)=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x\) 对 \(s\>0\) 均收敛.

\(\\Gamma\)函数性质

1. 递推公式 \(\\Gamma(\\alpha+1)=\\alpha \\Gamma(\\alpha)\),要求\(\\alpha \>0\) \(\\Gamma(n+1)=n !\) \(\\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\sqrt{\\pi}\)
2. 当 \(s \\rightarrow 0^{+}\) 时 \(, \\Gamma(s) \\rightarrow+\\infty\)
3. 余元公式 \(\\Gamma(s) \\Gamma(1-s)=\\frac{\\pi}{\\sin \\pi s}(0\<s\<1)\)
4. \(\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t} d u=\\frac{1}{2} \\Gamma\\left(\\frac{1+t}{2}\\right),(t\>-1)\)

递推公式 \(\\Gamma(s+1)=s \\Gamma(s)(s\>0)\)的证明 \(\\Gamma(s+1)=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{(s+1)-1} d x\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{s} d x=\\int\_{0}^{+\\infty} x^{s} d\\left(-e^{-x}\\right)\) \(=\\left\[x^{s}\\left(-e^{-x}\\right)\\right\]*{0}^{+\\infty}-\\int*{0}^{+\\infty}\\left(-e^{-x}\\right) d\\left(x^{s}\\right)\) \(=\\lim *{x \\rightarrow+\\infty} x^{s}\\left(-e^{-x}\\right)-0-\\int*{0}^{+\\infty}\\left(-e^{-x}\\right) s x^{s-1} d x\) \(=\\underline{0}-0+s \\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x \\quad(\\text { 洛必达法则 })\) \(=s \\Gamma(s)\)

当\(s \\rightarrow 0^{+}\)时\(\\Gamma(s) \\rightarrow+\\infty\)的证明 由（1）得: \(\\Gamma(s)=\\frac{\\Gamma(s+1)}{s},(s\>0)\) 令 \(s \\rightarrow 0^{+}\) 取极限，得 \(\\Gamma(s+1) \\rightarrow \\Gamma(1)=1\) \(\[\\because \\Gamma(s) \\text { 在s }=1 \\text { 连续 }\]\) \(\\therefore \\Gamma(s) \\rightarrow+\\infty \\quad\\left(\\text { 当 } s \\rightarrow 0^{+} \\text {时 }\\right)\)

\(\\Gamma(s) \\Gamma(1-s)=\\frac{\\pi}{\\sin \\pi s},(0\<s\<1)\)(余元公式)不证,但是可以比较轻松的得到\(\\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\sqrt{\\pi}\) 取 \(s=\\frac{1}{2},\) 代入得 \(\\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right) \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\frac{\\pi}{\\sin \\frac{\\pi}{2}}=\\pi\) \(\\therefore \\quad \\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\sqrt{\\pi}\)

\(\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t} d u=\\frac{1}{2} \\Gamma\\left(\\frac{1+t}{2}\\right),(t\>-1)\)的证明 (\(\\Gamma\)型向泊松型的变换) \(\\Gamma(s)=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{s-1} d x\) \(\\overset{\\text { 令 }{x}=u^{2} }{=} \\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{2(s-1)} 2 u d u\) (换积分符号不影响函数的自变量) \(=2 \\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{2 s-1} d u\) (自变量换为t) \(\\overset{\\text { 记 } t= 2 s-1 }{=} 2 \\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t} d u\) （泊松型表示为\(\\Gamma\)函数） \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t-1} 2 u d u\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t-1} d\\left(u^{2}\\right)\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}}\\left(u^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}(t-1)} d\\left(u^{2}\\right)\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}}\\left(u^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}(t+1)-1} d\\left(u^{2}\\right)\) \(\\overset{x=u^2}{=}\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{\\frac{1}{2}(t+1)-1} d x=\\Gamma\\left(\\frac{1+t}{2}\\right)\) 综上\(\\therefore \\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t} d u=\\frac{1}{2} \\Gamma\\left(\\frac{1+t}{2}\\right),(t\>-1)\)

高斯积分与泊松积分

\(\\int\_{-\\infty}^{+\\infty} \\mathrm{e}^{-x^{2}} \\mathrm{d} x=2 \\int\_{0}^{+\\infty} \\mathrm{e}^{-x^{2}} \\mathrm{d} x=\\sqrt{\\pi}\)

由于被积函数是一个偶函数（如下图所示），0到\(+\\infty\)的积分显然就是\(\\frac {\\sqrt{ \\pi}}{2}\).

(0到\(+\\infty\)上的积分又叫泊松积分:Euler-Poisson积分)

高斯积分可由\(\\Gamma\)函数可以算出

\(\\Gamma\\left(\\frac{1}{2}\\right)=\\int\_{0}^{\\infty} \\frac{1}{\\sqrt{x} e^{x}} d x=\\int\_{-\\infty}^{\\infty} e^{-x^{2}} d x=\\sqrt{\\pi}\)

高斯积分的证明

泊松积分的几种简便证明

泊松型积分可表示为\(\\Gamma\)函数

\(2 \\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t} d u\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t-1} 2 u d u\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t-1} d\\left(u^{2}\\right)\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}}\\left(u^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}(t-1)} d\\left(u^{2}\\right)\) \(=\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}}\\left(u^{2}\\right)^{\\frac{1}{2}(t+1)-1} d\\left(u^{2}\\right)\) \(\\overset{x=u^2}{=}\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-x} x^{\\frac{1}{2}(t+1)-1} d x=\\Gamma\\left(\\frac{1+t}{2}\\right)\)

即\(\\int\_{0}^{+\\infty} e^{-u^{2}} u^{t} d u\) \(=\\frac{1}{2}\\Gamma\\left(\\frac{1+t}{2}\\right)\)

即泊松积分都可以化为\(\\Gamma\)函数求解。

而泊松积分在概率论中会有应用（计算正态分布、瑞利分布等的分布函数、期望、方差等）

积分不等式的证明

证明某积分不等式，是考研中经常见到的问题. 处理这类问题有三种方法. (1)将要证的某某 > 0(或 \(\\geqslant0\)) 的一边变成变限函数,用微分学的办法证此不等式(例如 用单调性，最值,拉格朗日中值定理，拉格朗日余项泰勒公式等等)，这是考研中经常用到的方法. (2) 设要证的是 \(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x \\geqslant \\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x(a\<b),\)先去证当 \(a \\leqslant x \\leqslant b\) 时 \(f(x) \\geqslant g(x),\) 那么再由积分不等式的性质便有 \(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x \\geqslant \\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x\) 如果要证的是\(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\>\\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x(a\<b), \\text {先去证当 } a \\leqslant x \\leqslant b \\text { 时 } f(x) \\text { 与 } g(x)\)都连续,且 \(f(x) \\geqslant g(x),\) 并且至少存在一点 \(x\_{1} \\in\[a, b\]\) 使 \(f\\left(x\_{1}\\right)\>g\\left(x\_{1}\\right),\) 则由定理 便有 \(\\int\_{a}^{b} f(x) \\mathrm{d} x\>\\int\_{a}^{b} g(x) \\mathrm{d} x .\) 考试中常见的是严格不等式情形. (3) 利用积分性质,例如积分中值定理、积分变量代换、分部积分等方法,经变形并计算。 如果一个式子有积分号，一个没有积分号,要比较它们的大小,可以将有积分号的那一个用积分中偵定理化成没有积分号的，或者将没有积分号的套上积分号，在积分号里面比较大小. 有时两个积分的积分区间不一样,那么是否能通过变量代换将它们变成一样，从而比较被积既数的大小等等