高等数学-一元积分学-不定积分

不定积分

概念与性质

原函数

原函数：如果\(F^{\\prime}(x)=f(x)\)，则\(F(x)\)是\(f(x)\)的原函数。

如果\(f(x)\)存在原函数，则存在无穷多个原函数，且任意两个原函数相差常数。

原函数存在定理：连续函数一定存在原函数

不定积分

不定积分，即一个函数的原函数，包括它的所有原函数，即\(\\int f(x) d x=F(x)+c\)

不定积分性质

以下在\(f(x)\)连续的前提下

\(\\left(\\int f(x) \\mathrm{d} x\\right)^{\\prime}=f(x) ; \\mathrm{d} \\int f(x) \\mathrm{d} x=f(x) \\mathrm{d} x\)

\(\\int f^{\\prime}(x) \\mathrm{d} x=f(x)+C\_{;} \\int \\mathrm{d} f(x)=f(x)+C\)

\(\\int(f(x) \\pm g(x)) \\mathrm{d} x=\\int f(x) \\mathrm{d} x \\pm \\int g(x) \\mathrm{d} x\)

\(\\int k f(x) \\mathrm{d} x=k \\int f(x) \\mathrm{d} x,\) 常数 \(k \\neq 0\)

不定积分工具

基本公式

\(\\int k d x=k x+C\)

\(\\int x^{a} d x=\\left{\\begin{array}{ll} \\frac{1}{a+1} \\cdot x ^{a+1} \& ,\& a\\neq -1\\ \\ln |x|+c \& , \& a=-1\\end{array}\\right.\)

\(\\int a^{x} d x=\\frac{a^{x}}{\\ln a}+c\)

\(\\int e^{x} d x=e^{x}+c\)

\(\\int \\sin x d x=-\\cos x+c\)

\(\\int \\cos x d x=\\sin x+c\)

\(\\int \\tan x d x=-\\ln |\\cos x|+c\)

\(\\int \\cot x d x=\\ln |\\sin x|+c\)

\(\\int \\sec x d x=\\ln |\\sec x+\\tan x|+c\)

\(\\int \\csc x d x=\\ln |\\csc x-\\cot x|+c\)

\(\\int \\sec ^{2} x d x=\\tan x+c\)

\(\\int \\csc ^{2} x d x=-\\cot x+c\)

\(\\int \\sec x \\tan x d x=\\sec x+c\)

\(\\int \\csc x \\cot x d x=-\\csc x+c\)

平方和平方差公式

\(\\int \\frac{d x}{\\sqrt{1-x^{2}}}=\\arcsin x+c\)

\(\\int \\frac{d x}{\\sqrt{a^{2}-x^{2}}}=\\arcsin \\frac{x}{a}+c\)

\(\\int \\frac{1}{1+x^{2}} d x=\\arctan x+c\)

\(\\int \\frac{1}{a^{2}+x^{2}} d x=\\frac{1}{a} \\arctan \\frac{x}{a}+c\)

\(\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}+a^{2}}} d x=\\ln (x+\\sqrt{x^{2}+a^{2}})+c\)

\(\\int \\frac{1}{\\sqrt{x^{2}-a^{2}}} d x=\\ln |x+\\sqrt{x^{2}-a^{2}}|+c\)

\(\\int \\frac{1}{x^{2}-a^{2}} d x=\\frac{1}{2 a} \\ln \\left|\\frac{x-a}{x+a}\\right|+c\)

\(\\int \\sqrt{a^{2}-x^{2}} d x=\\frac{a^{2}}{2} \\arcsin \\frac{x}{a}+\\frac{1}{2} x \\sqrt{a^{2}-x^{2}}+c\)

换元积分法

第一类换元积分法

如下面所示的换元积分过程，即为第一类换元积分法

\(\\int f\[\\varphi(x)\] \\varphi^{\\prime}(x) d x=\\int f\[\\varphi(x)\] d \\varphi(a)\)

\(\\overset{\\varphi(x)=t}{=} \\quad \\int f(t) d t=F(t)+c=F\[\\varphi(x)\]+c\)

第二类换元积分法

无理转有理（不一定需要）

• \(\\int R(x, \\sqrt\[n\]{a x+b}, \\sqrt\[m\]{a x+b}) \\mathrm{d} x\) 型 \(, a \\neq 0\)。 命 \(\\sqrt\[mn\]{a x+b}=t, x=\\frac{t^{m n}-b}{a}, \\mathrm{d} x=\\frac{m n}{a} t^{m n-1} \\mathrm{d} t\)
• \(\\int R(x, \\sqrt{\\frac{a x+b}{c x+d}}) \\mathrm{d} x\) 型 命 \(\\sqrt{\\frac{a x+b}{c x+d}}=t, x=\\frac{d t^{2}-b}{a-c t^{2}}, \\mathrm{d} x=\\frac{2(a d-b c) t}{\\left(a-c t^{2}\\right)^{2}} \\mathrm{d} t .\) 其中设 \(a d-b c \\neq 0\)
• \(\\int R(\\sin x, \\cos x) \\mathrm{d} x\) 型 命 \(\\tan \\frac{x}{2}=t,\) 则 \(\\sin x=\\frac{2 t}{1+t^{2}}, \\cos x=\\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \\mathrm{d} x=\\frac{2}{1+t^{2}} \\mathrm{d} t .\) 此称万能代换,非到不得己时不用.

平方和差的三角替换

分部积分法

\((u v)^{\\prime}=u^{\\prime} v+u v^{\\prime}\) \(u v=\\int v d u+\\int u d v\) \(\\int u d v=u v-\\int v d u\)

幂函数*指数函数的积分\(\\int x^{n} \\cdot e^{x} d x\)

幂函数*对数函数的积分\(\\int x^{n} \\cdot \\ln x d x\)

幂函数*三角函数的积分\(\\int x^{n} \\cdot 三角函数 d x\)

幂函数*反三角函数的积分\(\\int x^{n} \\cdot 反三角函数 d x\)

指数函数*正余弦函数的积分\(\\int e^{a x} \\times\\left{\\begin{array}{l}\\cos b x \\ \\sin b x\\end{array} d x\\right.\)

正余弦倒数的n次幂的积分（奇次幂）

特殊积分类型

有理分式\(\\int R(x) d x\)的积分

其中\(R(x)=\\frac{P(x)}{a(x)}\)，而P(x)和Q(x)为多项式

如果P的次数小于于Q的次数，称其为真分式； 如果P的次数大于等于Q的次数，称其为假分式

\(R(x)\)为假分式

如果\(R(x)\)为假分式，要先转换成： 多项式+真分式

例1

\(R(x)\)为真分式

如果\(R(x)\)为真分式，R(x)分子不变，分母因式分解；然后拆成部分和的形式。

例1

例2

例3

例4

三角有理分式的积分

关于sinx,cosx的有理分式的积分，“万能代换”可解决这类间题。但随之而来的是一串复杂的计算，考研至今未见到过非要用它才能求这种不定积分的题对于这类题，

一般采用下列办法处理：①化成同角；②尽量约分；③分母化成单项式； ④利用\(1=\\sin ^{2} x+\\cos ^{2} x\)或\(1=\\left(\\sin ^{2} x+\\cos ^{2} x\\right)^{2}\)等等。由于三角公式众多，化简时有些技巧，考研中这类题出得很少，但也曾考过

简单无理分式的积分

按照几种典型类型换元法中所讲的方法换元

解路思路 含有\(\\sqrt\[n\]{ax+b}, \\sqrt\[n\]{ax+b}\)的简单分式的积分，一般命 \(\\sqrt\[k\]{a x+b}=t(\\text { 其中 } k \\text { 为 } n, m\) 的最小公倍教）以去掉根式.

可以使用平方和三角替换的，画三角替换。

例1

例2