高等数学-一元微分学-导数的应用

弧微分与曲率

弧微分

直角座标系中，\(\\mathrm{d} s=\\sqrt{1+y^{\\prime 2}} \\mathrm{d} x,(\\mathrm{d} x\>0)\)

参数方程中，\(\\mathrm{d} s=\\sqrt{x^{\\prime 2}(t)+y^{\\prime 2}(t)} \\mathrm{d} t,(\\mathrm{d} t\>0)\)

极坐标系中，\(\\mathrm{d} s=\\sqrt{p^{2}(\\theta)+p^{\\prime}(\\theta)^{2}} \\mathrm{d} \\theta,(\\mathrm{d} \\theta\>0)\)

极坐标系中的证明： \(r=r(\\theta)\) \(x=r \\cos \\theta, y=r \\sin \\theta\) \(\\frac{d x}{d \\theta}=\\frac{\\partial x}{\\partial r} \\frac{d r}{d \\theta}+\\frac{\\partial x}{\\partial \\theta}=\\cos \\theta r^{\\prime}-r \\sin \\theta\) \(\\frac{d y}{d \\theta}=\\frac{\\partial y}{\\partial r} \\frac{d r}{d \\theta}+\\frac{\\partial y}{\\partial \\theta}=\\sin \\theta r^{\\prime}+r \\cos \\theta\) \(d s=\\sqrt{\\left(\\frac{d x}{d \\theta}\\right)^{2}+\\left(\\frac{d y}{d \\theta}\\right)^{2}} d \\theta=\\sqrt{r^{2}+r^{\\prime}(\\theta)^{2}} d \\theta\)

曲率

曲率的引入

在数学上，曲线的曲率表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。

曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。

曲率定义

比值\(\\left|\\frac{\\Delta \\alpha}{\\Delta s}\\right|\)表示单位弧段上的切线转角，刻划了弧MM’的平均弯曲程度。称它为弧段MM’的平均曲率。记作\(\\bar{k}=\\left|\\frac{\\Delta \\alpha}{\\Delta s}\\right|\)

当时(即：\(M^{\\prime} \\rightarrow M\))，上述平均曲率的极限就称着曲线在点M处的曲率，记作\(k=\\lim \_{\\Delta s \\rightarrow 0}\\left|\\frac{\\Delta \\alpha}{\\Delta s}\\right|\) 。[^1]

当\(\\lim \_{\\Delta s \\rightarrow 0} \\frac{\\Delta \\alpha}{\\Delta s}=\\frac{d \\alpha}{d s}\)存在时，有 \(k=\\left|\\frac{d \\alpha}{d s}\\right|\)

由上述定义知，**曲率是一个局部概念，**谈曲线的弯曲应该具体地指出是曲线在哪一点处的弯曲，这样才准确。

[^1]: [山东理工大学电子教材](https://sxyd.sdut.edu.cn/_upload/tpl/02/32/562/template562/onlineLearning/gaodengshuxueshang/lesson/3.9 qulv.htm)

曲率圆和曲率半径

光滑曲线上某点的极小邻域，都可以看作是一个圆上的一部分，这个圆叫做曲率圆，这个圆的半径R叫做曲率半径。

如上图，在圆上\(\\frac{d s}{R}=\\tan d \\alpha \\approx d \\alpha\) \(\\Rightarrow R=\\left|\\frac{d s}{d \\alpha}\\right|\) 即\(k=\\frac{1}{R}=\\left|\\frac{d \\alpha}{d s}\\right|\)

曲率的倒数就是曲率半径。

又$\tan \alpha=\frac{d y}{d x}=y^{\prime} $

$ \Rightarrow \frac{d(\tan \alpha)}{d x}=\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=y{\prime \prime} $

$ \Rightarrow \frac{1}{\cos ^{2} \alpha} \frac{d \alpha}{d x}=y^{\prime \prime} $

$\Rightarrow d \alpha =y^{\prime \prime} \cdot \cos ^{2} \alpha \cdot d x =y^{\prime \prime} \cdot \frac{1}{1+\tan ^{2} \alpha} \cdot d x $

又\(\\mathrm{d} s=\\sqrt{1+y^{\\prime 2}} \\mathrm{d} x,(\\mathrm{d} x\>0)\)

则可以得到曲率计算公式\(k=\\frac{1}{R}=\\left|\\frac{d \\alpha}{d s}\\right| = \\frac{\\left|y^{\\prime \\prime}\\right|}{\\left\[1+\\left(y^{\\prime}\\right)^{2}\\right\]^{3 / 2}}\)

假设曲线方程是参数方程 \(\\left{\\begin{array}{l}x=\\varphi(t) \\ y=\\phi(t)\\end{array}\\right.\) 给出

则(2)式可相应地改成形式：

\(y^{\\prime}=\\frac{\\phi^{\\prime}(t)}{\\varphi^{\\prime}(t)}\)，，\(y^{\\prime \\prime}=\\frac{\\phi^{\\prime \\prime}(t) \\psi^{\\prime}(t)-\\varphi^{\\prime \\prime}(t) \\phi^{\\prime}(t)}{\\left\[\\varphi^{\\prime}(t)\\right\]^{3}}\)

可得参数方程曲率计算公式\(k=\\frac{\\left|\\phi^{\\prime \\prime}(t) \\varphi^{\\prime}(t)-\\varphi^{\\prime \\prime}(t) \\phi^{\\prime}(t)\\right|}{\\left\[\\left(\\varphi^{\\prime}(t)\\right)^{2}+\\left(\\phi^{\\prime}(t)\\right)^{2}\\right\]^{3 / 2}}\)

例1