线性代数-行列式

行列式

行列式的概念

排列

1个n阶排列是指由\(1,2,…,n\)共n个数构成的一个有序数组。通常用\(j\_1,j\_2,…j\_n\)表示一个n阶排列。

逆序

一个排列中，如果一个大的数排在小的数之前，就称这两个数构成一个逆序。（两个数的逆序）

逆序数

一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数. 用 \(\\tau\\left(j\_{1} j\_{2} \\cdots j\_{n}\\right)\) 表示排列 \(j\_{1} j\_{2} \\cdots j\_{n}\) 的逆序数。

奇排列与偶排列

如果一个排列的逆序数是偶数，则称这个排列为偶排列，否则称为奇排列.

行列式

行列式是一个数。

对于n阶行列式，有： \(\\left|\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& a\_{n 2} \& \\cdots \& a\_{nn}\\end{array}\\right|\) \(=\\sum\_{j\_{1} j\_{2} \\cdots j\_{n}}(-1)^{\\tau\\left(j\_{1} j\_{2} \\cdots j\_{n}\\right)} a\_{1 j\_{1}} a\_{2 j\_{2}} \\cdots a\_{n j\_{n}}\) \(\\sum\_{j\_{1} j\_{2} \\cdots j\_{n}}\) 表示对所有 \(n\) 阶排列求和,它结果是所有（取自不同行不同列的 n 个元素的乘积再乘以一个\(\\pm 1\)）结果的代数和。各项的正负号由排列的逆序数决定。

等式右端又称n 阶行列式的完全展开式.

eg：二阶行列式的完全展开式： \(\\left|\\begin{array}{ll}a \& b \\ c \& d\\end{array}\\right|=a d-b c\)

eg2：三阶行列式的完全展开式： \(\\left|\\begin{array}{lll}a\_{11} \& a\_{12} \& a\_{13} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& a\_{23} \\ a\_{31} \& a\_{32} \& a\_{33}\\end{array}\\right|=a\_{11} a\_{22} a\_{33}+a\_{12} a\_{23} a\_{31}+a\_{13} a\_{21} a\_{32}-a\_{13} a\_{22} a\_{31}-a\_{12} a\_{21} a\_{33}-a\_{11} a\_{23} a\_{32}\)

（二阶行列式、三阶行列式写完全展开式有一种简便记法：主对角线方向的元素-副对角线方向的元素。 在二阶、三阶行列式中0比较多时比较好用。 注意：只有二阶、三阶行列式有此特点/计算法，高阶行列式必须要按后面行列式展开公式来计算。）

行列式的性质

转置值不变

1）经过转置行列式的值不变,即 \(| A^T|=| \\boldsymbol{A} \\mid\)

1.2）上一条的推论：行列式行的性质与列的性质是对等的.（所以下面只讨论行的性质，要明白列也有相同性质）

eg： \(\\left|\\begin{array}{ll}1 \& 2 \\ 3 \& 4\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ll}1 \& 3 \\ 2 \& 4\\end{array}\\right|\)

两行互换值变号

2）两行(或列) 互换位置,行列式的值变号.

2.2）上一条的推论：如果行列式中两行(或列) 相同,行列式的值为 0.

数乘性质

3）如某行（或列）有公因子 k,则可把 k 提出行列式记号外. (亦即用数 k 乘行列式\(|A|\)等于用 k 乘它的某行(或列))。如整个行列式都有公因子k，则可以提出n次k （即\(|k \\mathbf{A}|=k^{n}|\\mathbf{A}|\)）

3.2）上一条的推论：某行(或列) 的元素全为 0,行列式的值为 0.

3.3）根据3）和2）有推论：若两行(或列) 的元素对应成比例，行列式的值为 0.

拆分性质

4）如果行列式某行(或列) 是两个元素之和，则可把行列式拆成两个行列式之和.

eg：

\(\\left|\\begin{array}{ccc}a\_{1}+b\_{1} \& a\_{2}+b\_{2} \& a\_{3}+b\_{3} \\ c\_{1} \& c\_{2} \& c\_{3} \\ d\_{1} \& d\_{2} \& d\_{3}\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}a\_{1} \& a\_{2} \& a\_{3} \\ c\_{1} \& c\_{2} \& c\_{3} \\ d\_{1} \& d\_{2} \& d\_{3}\\end{array}\\right|+\\left|\\begin{array}{ccc}b\_{1} \& b\_{2} \& b\_{3} \\ c\_{1} \& c\_{2} \& c\_{3} \\ d\_{1} \& d\_{2} \& d\_{3}\\end{array}\\right|\)

倍加性质

5）把某行(或列) 的 k 倍加到另一行(或列),行列式的值不变.

eg：

\(\\left|\\begin{array}{lll}a\_{1} \& a\_{2} \& a\_{3} \\ b\_{1} \& b\_{2} \& b\_{3} \\ c\_{1} \& c\_{2} \& c\_{3}\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ccc}a\_{1} \& a\_{2} \& a\_{3} \\ b\_{1}+k a\_{1} \& b\_{2}+k a\_{2} \& b\_{3}+k a\_{3} \\ c\_{1} \& c\_{2} \& c\_{3}\\end{array}\\right|\)

学过矩阵后补充的性质

1）（行列式乘法公式）若 A , B 都是 \(n\) 阶矩阵,则 \(|A B|=|A||B|\)

2）若 A 是 \(n\) 阶矩阵.\(A^*\) 是 \(A\) 的伴随矩阵,则 \(\\left|\\boldsymbol{A}^{*}\\right|=|\\boldsymbol{A}|^{n-1}\)

3）若 A 是 \(n\) 阶可逆矩阵, \(A^{-1}\) 是 \(A\) 的逆矩阵,则 \(\\left|\\boldsymbol{A}^{-1}\\right|=|\\boldsymbol{A}|^{-1}\)

4）若 \(\\boldsymbol{A}\) 是 \(n\) 阶矩阵 \(, \\lambda\_{i}(i=1,2, \\cdots, n)\) 是 \(\\boldsymbol{A}\) 的特征值,则 \(|\\boldsymbol{A}|=\\prod\_{i=1}^{n} \\lambda\_{i}\)

5）若矩阵 \(\\boldsymbol{A}\) 和 \(\\boldsymbol{B}\) 相似 \(\\boldsymbol{A} \\sim \\boldsymbol{B},\) 则 \(|\\boldsymbol{A}|=|\\boldsymbol{B}|\)

6）是 A 的伴随矩阵,则若 A 是 n 阶矩阵, \(A^*\)是 A 的伴随矩阵,则\(\\boldsymbol{A A}^{*}=\\boldsymbol{A}^{\*} \\boldsymbol{A}=|\\boldsymbol{A}| \\boldsymbol{E}\)

行列式按行（或列）展开公式

余子式

n阶行列式： \(D=\\left|\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& a\_{n 2} \& \\cdots \& a\_{m}\\end{array}\\right|\) 从中划去 \(a\_{i j}\) 所在的第 \(i\) 行、第 \(j\) 列的元素，由剩下的元素按原来的位置排法构成的一个 \(n-1\) 阶行列式： \(\\begin{array}{|cccccc|}a\_{11} \& \\cdots \& a\_{1, j-1} \& a\_{1, j+1} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ \\vdots \& \& \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{i-1,1} \& \\cdots \& a\_{i-1, j-1} \& a\_{i-1, j+1} \& \\cdots \& a\_{i-1, n} \\ a\_{i+1,1} \& \\cdots \& a\_{i+1, j-1} \& a\_{i+1, j+1} \& \\cdots \& a\_{i+1, n} \\ \\vdots \& \& \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& \\cdots \& a\_{n, j-1} \& a\_{n, j+1} \& \\cdots \& a\_{n n}\\end{array} \\mid\) 称其为 \(a\_{i j}\) 的余子式,记为 \(M\_{i j}\)

代数余子式

称 \((-1)^{i+j} M\_{i j}\) 为 \(a\_{i j}\) 的代数余子式,记为 \(A\_{i j}\)。即\(A\_{i j}=(-1)^{i-j} M\_{i j}\)

代数余子式性质

行列式的任一行(列) 元素与另一行(列) 元素的代数余子式乘积之和为 0,即： \(\\sum\_{k=1}^{n} a\_{i k} A\_{j k}=a\_{i 1} A\_{j 1}+a\_{i 2} A\_{j 2}+\\cdots+a\_{i m} A\_{j n}=0, \\quad i \\neq j\) \(\\sum\_{k=1}^{n} a\_{k i} A\_{k j}=a\_{1 i} A\_{1 j}+a\_{2 i} A\_{2 j}+\\cdots+a\_{n i} A\_{n j}=0, \\quad i \\neq j\)

行列式按行（或列）展开公式

n 阶行列式的值等于它的任何一行(列) 元素,与其对应的代数余子式乘积之和，即： \(|\\boldsymbol{A}|=a\_{i 1} A\_{i 1}+a\_{i 2} A\_{i 2}+\\cdots+a\_{i n} A\_{m i}=\\sum\_{k=1}^{n} a\_{i k} A\_{i k}, \\quad i=1,2, \\cdots, n\) （按第i行展开） \(|\\boldsymbol{A}|=a\_{1 j} A\_{1 j}+a\_{2 j} A\_{2 j}+\\cdots+a\_{n j} A\_{w} = \\sum\_{k=1}^{n} a\_{k j} A\_{k j}, \\quad j=1,2, \\cdots n\) （按第j列展开）

几个重要的展开公式

根据行列式按行（或列）展开公式，可以写出所有的行列式的完全展开式。 其中几种特殊的行列式，其完全展开式很有特点，可以直接记忆。

上（下）三角行列式的值等于主对角线元素的乘积

\(\\left|\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1 n} \\ \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2 n} \\ \& \& \\ddots \& \\vdots \\ \& \& \& a\_{nn}\\end{array}\\right|\) \(=\\left|\\begin{array}{cccc}a\_{11} \& \& \& \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \& \\ \\vdots \& \\vdots \& \\ddots \& \\ a\_{n 1} \& a\_{n 2} \& \\cdots \& a\_{nn}\\end{array}\\right|\) \(=a\_{11} a\_{22} \\cdots a\_{n n}\)

副对角线上（下）三角行列式

\(\\left|\\begin{array}{ccccc}a\_{11} \& a\_{12} \& \\cdots \& a\_{1, n-1} \& a\_{1 n} \\ a\_{21} \& a\_{22} \& \\cdots \& a\_{2, n-1} \& 0 \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& 0 \& \\cdots \& 0 \& 0\\end{array}\\right|\) \(=\\left|\\begin{array}{cccc}0 \& \\cdots \& 0 \& a\_{1 n} \\ 0 \& \\cdots \& a\_{2, n-1} \& a\_{2 n} \\ \\vdots \& \& \\vdots \& \\vdots \\ a\_{n 1} \& \\cdots \& a\_{n \\cdot n-1} \& a\_{n n}\\end{array}\\right|\) \(=(-1)^{\\frac{n(n-1)}{2}} a\_{1 n} a\_{2, n-1} \\cdots a\_{n 1}\)

拉普拉斯公式

如果 A 和 B 分别是 \(m\) 阶和 \(n\) 阶矩阵,则： \(\\left|\\begin{array}{ll}\\boldsymbol{A} \& \* \\ \\boldsymbol{O} \& \\boldsymbol{B}\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{ll}\\boldsymbol{A} \& \\boldsymbol{O} \\ \* \& \\boldsymbol{B}\\end{array}\\right|=|\\boldsymbol{A}| \\cdot|\\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵 \(\\left|\\begin{array}{cc}\\boldsymbol{O} \& \\boldsymbol{A} \\ \\boldsymbol{B} \& *\\end{array}\\right|=\\left|\\begin{array}{cc}* \& \\boldsymbol{A} \\ \\boldsymbol{B} \& \\boldsymbol{O}\\end{array}\\right|=(-1)^{m n}|\\boldsymbol{A}| \\cdot|\\boldsymbol{B}|\)，其中A,B要求为方阵,其余位置不要求为方阵,m和n为A与B的阶数

范德蒙行列式

\(\\left|\\begin{array}{cccc}1 \& 1 \& \\cdots \& 1 \\ x\_{1} \& x\_{2} \& \\cdots \& x\_{n} \\ x\_{1}^{2} \& x\_{2}^{2} \& \\cdots \& x\_{n}^{2} \\ \\vdots \& \\vdots \& \& \\vdots \\ x\_{1}^{n-1} \& x\_{2}^{n-1} \& \\cdots \& x\_{n}^{n-1}\\end{array}\\right|\) \(=\\prod\_{1\\leqslant j\<i \\leqslant n}\\left(x\_i-x\_{j}\\right)\)

行列式的计算

行列式的性质部分，介绍了行列式关于行和关于列的三种运算,即 \(r\_{i} \\leftrightarrow r\_{j}, r\_{i} \\times k\)，\(r\_{i}+k r\_{j}\) 和 \(c\_{i} \\leftrightarrow c\_{j}, c\_{i} \\times k, c\_{i}+k c\_{j},\) 利用这些运算可简化行列式的计算。

行列式的计算，一般遵循先化简再求值的计算步骤： 先利用行列式的性质，尽可能得0或得1（比较标准的形式是化为上/下三角行列式； 然后利用行列式展开公式求解。

行列式解法

最好都实践一下：

八大类型行列式及其解法

行列式在解方程组应用：克拉默法则

克拉默法则

对于有n个方程n个未知数的线性方程组： \(\\left{\\begin{array}{l}a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2} \\pi \\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=b\_{1} \\ a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=b\_{2} …\\ a\_{n\_{1}} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}=b\_{n}\\end{array}\\right.\) 如果系数行列式\(D=|A| \\neq 0\), 则方程组有唯一解，且$x_1 = \frac{D_1}{D} ,x_2 = \frac{D_2}{D} , …, x_n = \frac{D_n}{D} $ 其中\(D\_i\)是系数行列式的第i列替换为\(\[b\_1, b\_2, … , b\_n\]^T\)形成的行列式。

克拉默法则推论

若齐次方程组： \(\\left{\\begin{array}{l}a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2} \\pi \\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=0 \\ a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=0 …\\ a\_{n\_{1}} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}=0\\end{array}\\right.\) 的系数行列式不为0，则方程组有唯一一组零解。

克拉默法则推论的逆否命题

若齐次方程组： \(\\left{\\begin{array}{l}a\_{11} x\_{1}+a\_{12} x\_{2} \\pi \\cdots+a\_{1 n} x\_{n}=0 \\ a\_{21} x\_{1}+a\_{22} x\_{2}+\\cdots+a\_{2 n} x\_{n}=0 …\\ a\_{n\_{1}} x\_{1}+a\_{n 2} x\_{2}+\\cdots+a\_{n n} x\_{n}=0\\end{array}\\right.\) 有非零解，则它的系数行列式必为0.